Zeigen Sie, dass (In)n∈N eine Intervallschachtelung ist

Question

Sei x > 1. Definiere rekursiv I_n := [a_n, b_n], a_n, b_n ∈ R, n ∈ N, durch

a₁ = 1, b₁ = x,

a_n+1 = (2a_nb_n) / (a_n+b_n)_,

b_n+1 = (a_n+b_n)/2.

Zeigen Sie, dass (I_n)_n∈N eine Intervallschachtelung ist so, dass \( \sqrt{x} \)  ∈ ∩_n∈N I_{n .}

Answer 1

Hallo,

Notiz:

\(a_{n+1}\) ist das harmonische Mittel zwischen \(a_n\) und \(b_n\)

\(b_{n+1}\) ist das arithmetische Mittel zwischen \(a_n\) und \(b_n\).

Für eine Intervallschachtelung braucht man:

(a) \(I_{n+1}\subset I_n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\)

Zu zeigen ist also, dass \(\left[\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \frac{a_n+b_n}{2}\right]\subset [a_n,b_n]\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn für alle \(n\in \mathbb{N}\):$$\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\geq a_n \quad \text{und} \quad b_n\geq\frac{a_n+b_n}{2}$$

(b) Die Folge \((|I_n|)\) der Intervallängen ist eine Nullfolge.

\(b_n-a_n\) muss eine Nullfolge sein. Idee?