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Aufgabe:

Rekursive Folge


Problem/Ansatz:


Rekursive Folge


Es seien a, b ∈ R. Die Folge (an)n∈N sei wie folgt rekursiv definiert:


aaa.png

Text erkannt:

\( a_{1}:=a, \quad a_{2}:=b, \quad a_{n}:=\frac{1}{3}\left(2 a_{n-1}+a_{n-2}\right) \) for \( n \geq 3 \)

a) Zeigen Sie, dass für alle k ∈ N die Gleichung


bbb.png

Text erkannt:

\( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

gilt.


B) Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert


//  Für A ) 3(an−an−1)=−(an−1−an−2)

Für B) Ich kann teleskopieren: an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯(a2−a1)+a1.


Ich habe darüber nachgedacht, konnte aber die Fortsetzung und das Ende nicht machen. Gibt es jemanden, der helfen kann?


LG

vor von

1 Antwort

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A geht doch sicher mit Induktion und für B kannst du doch sagen:

Sei ε>0. Wegen \( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

gilt \( | a_{k+1}-a_{k}| = |\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a)| \lt \epsilon \)

<=>         \(     \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}|(b-a)| \lt \epsilon \)

<=>        \(   \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \lt \frac{ \epsilon }{|(b-a)|}\)

<=>        \( (k-1) \cdot  ln \left(\frac{1}{3}\right) \lt  ln (\frac{ \epsilon }{|(b-a)|} )\)

Beachte ln(1/3) <0 also

<=>        \( (k-1)  \gt \frac{ ln (\frac{ \epsilon }{|(b-a)|} )} { ln \left(\frac{1}{3}\right)}\)

Also gibt es ein K, so dass für k>K gilt \( | a_{k+1}-a_{k}|  \lt \epsilon \).

Also konvergiert die Folge nach Cauchy.

Und für den Grenzwert kann man doch \( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

benutzen in der Form \( a_{k+1}= a_{k}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

Da gibt es \( a_{3}= b+\left(-\frac{1}{3}\right)(b-a) \)

\( a_{4}= b+\left(-\frac{1}{3}\right)(b-a)+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}(b-a) \)  etc.

Das wird dann wohl zu

\( a_{n}= b+ \sum\limits_{k=1}^{n-2}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}(b-a) =  b+(b-a) \sum\limits_{k=1}^{n-2}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}  \)

Und mit der geom. Reihe komme ich auf Grenzwert g = b+(b-a)*0,75

vor von 270 k 🚀

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