Die Spur einer Matrix

Question

Aufgabe: Für quadratische Matrizen betrachten wir wieder die Spur-Funktion

a) Zeigen Sie Spur(A^T A) = ∑^N_m,n=1  a²_{mn .}

_{b) Zeigen Sie Spur(xy}^T  ) = y^T x für x,y ∈ K^N

c) Sei nun K = |K. Zeigen sie Spur(A) = 0, falls A antisymmetrisch ist

Problem/Ansatz:

Ich habe leider kein plan wie ich die Aufgaben herangehen soll. Falls jemand die Lösung oder Tipps teilen kann, bin ich ihr unendlich dankbar.

Answer 1

Ich zeige mal (a)

$$ \big( A^T A \big)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{k,i} A_{k,j}   $$ also

$$ \text{Spur}\big( A^T A \big) = \sum_{i=1}^n \big( A^T A \big)_{i,i} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n A^2_{k,i} $$

Den Rest schafft Du alleine oder zeige Deine Rechenwege!