Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau im \(k\)-ten Versuch eintritt ist:$$p(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$In den ersten \(k-1\) Versuchen muss das Gegenereignis eintreten und im \(k\)-ten Versuch muss das Ereignis eintreten. Der Erwartungswert \(\mu_X\) ist daher:
$$\mu_X=\sum\limits_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p=p\sum\limits_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-p\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{d}{dp}(1-p)^{k}=-p\frac{d}{dp}\sum\limits_{k=0}^\infty (1-p)^{k}$$Wegen \(p\in(0;1)\) bzw. \((1-p)\in(0;1)\) entpuppt sich die Summe als konvergente geometrische Reihe und wir können, da wir uns im Konvergenzradius der Potenzreihe bewegen, die Ableitung vor das Summenzeichen ziehen. Mit der bekannten Formel für den Grenzwert der geometrischen Reihe rechnen wir weiter:$$\mu_X=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{1-(1-p)}\right)=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{p}\right)=-p\,\left(-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{1}{p}$$
