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Aufgabe:

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Text erkannt:

(77) Berechnen Sie die Integrale
$$ \int \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} \mathrm{~d} x, \quad \int \frac{1}{a+x^{2}} \mathrm{~d} x $$
mit Hilfe geeigneter Substitutionen.

zu dem zweiten Integral: mir war nicht klar was ich substituieren sollte also habe ich es in den Integralrechner eingegeben aber ich kann weder die Substitution noch den folgenden Rechenweg nachvollziehe. Ich bitte um eine Erklärung, vielen Dank!Bildschirmfoto 2020-12-16 um 15.10.26.png

Text erkannt:

Aufgabe:
$$ \begin{array}{c}\int \frac{1}{x^{2}+a} \mathrm{~d} x \\ \text { Substituiere } u=\frac{x}{\sqrt{a}} \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\sqrt{a}}(\text { Rechenweg }) \longrightarrow \mathrm{d} x=\sqrt{a} \mathrm{~d} u: \\ =\int \frac{\sqrt{a}}{a u^{2}+a} \mathrm{~d} u\end{array} $$
Vereinfachen:
\( =\frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \)

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Was verstehst Du nicht? Der Weg ist doch zielmlich genau beschrieben.

wie kommt man darauf x/Wurzel(a) zu substituieren? Was will man damit bezwecken?

1 Antwort

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Beste Antwort

Das siehst Du ja am Rechenweg. Man will das Integral auf eine bekannte Form, hier den \( \arctan(x) \) zurückführen. Man kommt drauf in dem man im Nenner \( a \) ausklammert.

Also $$ \frac{1}{x^2 + a} = \frac{1}{ (1 + \frac{x^2}{a} ) a} = \frac{1}{\bigg( 1 + \left( \frac{x}{\sqrt{a}} \right)^2 \bigg) a } $$

Avatar von 39 k

danke jetzt ist es schon viel klarer

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