Integralrechnung mittels Substitution

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(77) Berechnen Sie die Integrale
$$\int \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} \mathrm{~d} x, \quad \int \frac{1}{a+x^{2}} \mathrm{~d} x$$
mit Hilfe geeigneter Substitutionen.

zu dem zweiten Integral: mir war nicht klar was ich substituieren sollte also habe ich es in den Integralrechner eingegeben aber ich kann weder die Substitution noch den folgenden Rechenweg nachvollziehe. Ich bitte um eine Erklärung, vielen Dank!

Text erkannt:

Aufgabe:
$$\begin{array}{c}\int \frac{1}{x^{2}+a} \mathrm{~d} x \\ \text { Substituiere } u=\frac{x}{\sqrt{a}} \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\sqrt{a}}(\text { Rechenweg }) \longrightarrow \mathrm{d} x=\sqrt{a} \mathrm{~d} u: \\ =\int \frac{\sqrt{a}}{a u^{2}+a} \mathrm{~d} u\end{array}$$
Vereinfachen:
$=\frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u$

Comments

Was verstehst Du nicht? Der Weg ist doch zielmlich genau beschrieben.

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wie kommt man darauf x/Wurzel(a) zu substituieren? Was will man damit bezwecken?

Answer 1

Das siehst Du ja am Rechenweg. Man will das Integral auf eine bekannte Form, hier den $\arctan(x)$ zurückführen. Man kommt drauf in dem man im Nenner $a$ ausklammert.

Also $$\frac{1}{x^2 + a} = \frac{1}{ (1 + \frac{x^2}{a} ) a} = \frac{1}{\bigg( 1 + \left( \frac{x}{\sqrt{a}} \right)^2 \bigg) a }$$

Comments

danke jetzt ist es schon viel klarer