Aufgabe: Integral mittels Variablentransformation bestimmen (siehe Foto)
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Betrachten Sie nun das bestimmte Integral
\( I:=\int \limits_{a}^{b} \cos \left(n \ln \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x, \)
mit \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) sowie \( a, b \in \mathbb{R} \), wobei \( b>a>e \) ( \( e \) bezeichnet die Eulersche Zahl) gelten soll. Es wird nun eine Variablentransformation durchgeführt. Bestimmen Sie die Funktion \( h(z) \), sodass
\( I=\int \limits_{A}^{B} \cos \left(1+z^{2}\right) h(z) \mathrm{d} z, \)
wobei \( A \) und \( B \) die neuen Integrationsgrenzen bezeichnen (es soll \( B>A>0 \) gelten).
\( h(z)=\frac{1}{n} \exp \left(\frac{z\left(1+z^{2}\right)}{2 n}\right) \)
\( h(z)=n z \exp \left(n\left(1+z^{2}\right)+\ln \left(1+z^{2}\right)\right) \)
\( h(z)=\frac{1}{n} z \exp \left(\frac{1+z^{2}}{2 n}\right) \)
\( h(z)=n \frac{z}{1+z^{2}} \exp \left(2 n\left(1+z^{2}\right)\right) \)
\( h(z)=\frac{1}{n} z\left(1+z^{2}\right) \exp \left(\frac{1+z^{2}}{2 n}-\ln \left(1+z^{2}\right)\right) \)
Problem/Ansatz:
Grundsätzlich bin ich vertraut damit, Integrale mittels Substitution zu lösen und verstehe das Konzept. Wenn ich diese Aufgabe richte verstehe, muss man "nachvollziehen", welche Substitutionen durchgeführt wurden? Leider finde ich jedoch keine passenden Substitutionen. Wenn ich das Integral löse, würde ich in diesem Fall nicht Substituieren, sondern partiell Integrieren.
Ich hoffe, mein Problem ist nachvollziehbar. Danke für die Hilfe!
Leonding
