Taylorpolynom zweiter Ordnung entwickeln

Question

Aufgabe:Taylor polynome zweiter Ordnung an der Stelle X0 = 1 berechnen.

Problem/Ansatz: Ich komme mit dem Lösungsweg nicht klar, der wie folgt lautet : f(x) =x^-1/4.  f(x) =-1/4x^-5/4. f“ (x) =5/16x^-9/4. f“(x) =-45/64x^-13/4

f(x0)=1. f(1)=1.f(x0) =f(1)=-1/4

f“(x0)=f“(1)=5/16. Die dritte Ableitung hat woh mit dem Restglied zu tun. Mir ist schon nicht klar weshalb bei der ersten Rechnung 1 raus kommt. Ich wäre für eine möglichst ausführliche Erklärung sehr dankbar.

Answer 1

Ich würde mich mal bemühen Aufgaben richtig zu beschreiben. Also die Ausgangsfunktion lautet $$f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$$ Dann ist die erste Ableitung $$f'(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4} }$$ Bei Dir steht aber $$f(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4} }$$

Ebenso ist die dritte Ableitung von Dir falsch bezeichnet worden, nämlich als $f''$.

Ich geh mal davon aus, dass die Basiskenntnis, wie man Potenzen differenziert vorhanden ist, s.d. das jetzt nicht auch noch gezeigt werden muss. Tipp dazu $(x^n)' = n x^{n-1}$ Jetzt rechnen wir mal den Wert von $f(1)$ aus. Also $$f(1) = 1^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{1}} = \frac{1}{1} = 1$$

Das sollte Basiswissen sein für jemanden, der sich mit Taylorreihen beschäftigt.

Comments

Bei der 1.Ableitung habe ich wohl nicht lange genug auf die Tastatur gedrückt. Für mich war die Frage bei der Position f(x) =x^-1, dass ich davon ausgegangen bin, dass es wie folgt gehen müsste nämlich f(x0) =f(x) =f(1)=1^-1/4=1. Dass das einsetzen in die ursprüngliche Funktion 1 ergibt war mir auch klar. Das kann jetzt möglicherweise ein Denkfehler gewesen sein. Wenn ich jetzt die 1 in die erste Ableitung einsetze, dann kommt - 1/4*1^-5/4=-1/4?

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Ja klar. Und bei der zweiten Ableitung $\frac{5}{16}$.

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Übrigens die Ableitungen sind mir schon klar, aber die Tatsache, dass offenbar 1^ irgend etwas immer 1 ergibt habe ich heute in einem Youtube Video gesehen. Da ging es um ein taylorpolynom einer Wurzelfunktion und da hieß es dann, dass eben 1^ irgendetwas immer 1 ergibt. Allerdings habe ich bis jetzt dafür noch nirgendwo eine Bestätigung gefunden, die es wohl geben muss.