Hallo,
die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x)=-f(x)\). Somit könnte man sofort schlussfolgern, dass in diesem symmetrischen Intervall das Integral gleich Null ist.
Das wird dich aber nicht weiterbringen, weil du scheinbar die Basics noch nicht ganz verstanden hast. Legen wir los: Du hast \(f(x)=-\frac{1}{8}x^3+2x\) gegeben. Um die Stammfunktion zu bilden, erhöhst du jeden Exponentengrad um \(+1\) und teilst durch den neuen Grad:$$F(x)=-\frac{1}{8}\frac{x^{\boxed{4}}}{\boxed{4}}+2\frac{x^{\boxed{2}}}{\boxed{2}}=-\frac{1}{32}x^4+x^2$$ Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt dann:$$\int \limits_{-2}^{2}f(x) \, \mathrm{d}x=F(2)-F(-2)=-\frac{1}{32}\cdot2^{4}+2^{2}-\left(-\frac{1}{32}\cdot\left(-2\right)^{4}+\left(-2\right)^{2}\right)=0$$
