Flächenstück zwischen Funktionen berechnen

Question

Eine Parabel 3. Ordnung mit der Gleichung \( \mathrm{f}: \mathrm{y} = \mathrm{x}^{3}+\mathrm{bx}^{2} + \mathrm{cx} + \mathrm{d} \) geht durch den Punkt \( \mathrm{P}(2 \mid 3) \) und hat im Punkt \( \mathrm{T}(1 \mid-1) \) den Tiefpunkt.

In ihrem Wendepunkt wird sie von einer Parabel 2. Ordnung mit der Gleichung \( \mathrm{g}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r} \) berührt, deren Scheitelpunkt an der Stelle \( -1 \) liegt.

Berechne den Flächeninhalt des endlichen Flächenstücks, das von beiden Kurven begrenzt wird.

Für die erste Funktion 3. Grades bekomme ich folgendes heraus: y= x³ + x² -6x +3

Ich bin mir aber nicht sicher, wie ich die 2. Funktion berkommen soll.

Was ist mit "Scheitelpunkt an der Stelle -1 liegt" gemeint. Besteht ein Scheitelpunkt nicht aus einem x UND y Wert?

Comments

jepp, zu einem punkt gehört ein x- und ein  y-wert. bzw. eine x- und eine y-koordinate.

an der stelle x = -1 bedeutet einfach, dass nur der x-wert gegeben ist.

ganz schön gemein das ist! :-/

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aber wie kann ich denn dann die parabel 2. ordnung ausrechnen?

weißt du das?

Answer 1

Das ist ein ganz schöner Brocken, aber durchaus lösbar.

Zunächst einmal: f ( x ) hast du richtig berechnet.

Nun zu g ( x ) :

Hierfür benötigt man den Wendepunkt von f ( x ) , denn dort sollen sich die Graphen von f ( x ) und g ( x ) berühren, was unter anderem bedeutet, dass dieser Punkt die Gleichung von g ( x ) erfüllen muss.

Den Wendepunkt von f ( x )  findet man an derjenigen Stelle x, für die gilt :

f ' ' ( x ) = 6 x + 2 = 0

<=> x = ( - 1 / 3 )

Der Funktionswert von f an dieser Stelle ist:

f ( - 1 / 3 ) = ( - 1 / 3 ) ³ + ( 1 / 3 ) ² + 6 / 3 + 3 = 137 / 27

Der Wendepunkt von f  hat also die Koordinaten ( - 1 / 3 | 137 / 27 )

Nun tragen wir die Informationen zusammen, die wir über

g ( x ) = p x ²+ q x + r

haben:

g ( x ) soll f ( x ) im Wendepunkt von f ( x ) , also im Punkt ( - 1 / 3 | 137 / 27 ) berühren, das heißt, an dieser Stelle müssen die Funktionswerte und die Steigungen von f ( x ) und g ( x ) übereinstimmen, also:

g ( - 1 / 3 )  = f ( - 1 / 3 )

g ' ( - 1 / 3 ) = f ' ( - 1 / 3 )

Außerdem sol an der Stelle x = - 1 der Scheitelpunkt von g liegen, also muss g an dieser Stelle eine horizontale Tangente, also eine Steigung von Null haben, es muss also gelten:

g ' ( - 1 ) = 0

Man hat also 3 Informationen über g und kann daher die Werte der 3 Parameter p, q und r bestimmen. Wertet man die Informationen aus, dann erhält man:

g ' ( - 1 ) = 0

<=> - 2 p + q = 0

<=> q = 2 p

g ( - 1 / 3 )  = f ( - 1 / 3 )

<=> ( 1 / 9 ) p - ( 1 / 3 ) q + r = 137 / 27

g ' ( - 1 / 3 ) = f ' ( - 1 / 3 )

<=> ( - 2 / 3 ) p + q = ( 1 / 3 ) - ( 2 / 3 ) - 6 = - 19 / 3

Man hat also das Gleichungssystem aus den 3 Gleichungen

q = 2 p
( 1 / 9 ) p - ( 1 / 3 ) q + r = 137 / 27
( - 2 / 3 ) p + q =  - 19 / 3

zu lösen.

Das führe ich nun nicht vor, sondern gebe gleich die Lösungen an:

p = - 19 / 4
q = - 19 / 2
r = 233/ 108

Somit lautet die Funktionsgleichung von g:

g ( x ) = ( - 19 / 4 ) x ² - ( 19 / 2 ) x + ( 233 / 108 )

Hier ein Schaubild der Funktionen f  und g:

http://x^3+x^2-6x+3, -(19/4)x²-(19/2) x +(233/108)from-6to2

Man erkennt hier auch das endliche Flächenstück, dessen Flächeninhalt berechnet werden soll.

Genügt dir das erst einmal?

Comments

ja danke :) jetzt komm ich dann auch auf das gleichungssystem und kann p,q, und r berechnen.

ich weiß jetzt nur nicht, wie ich auf die intervallsgrenzen kommen soll, damit ich das flächenstück berechnen kann?!