Zeigen Sie: lineare Abbildung

Question

Sei φ: V → V eine lineare Abbildung.

(a) Zeigen Sie:
φ◦φ=0 ⇐⇒ Bild(φ)⊆Kern(φ)

Vorsicht: Das geht nicht nur für die Nullabbildung - wie Sie gleich zeigen
sollen.

(b) Finden Sie ein Beispiel für eine solche lineare Abbildung φ mit Bild(φ) ̸= 0 und Kern(φ) ̸= 0.

Comments

Wenn du die Definition vom Bild und vom Kern aufschreibst müsste dir etwas auffallen.

Laut der Definition vom Kern gilt: f(v)=0

Laut der Definition vom Bild gilt: f(v)=v

wenn du jetzt die Definition vom Bild und die Definition vom Kern einsetzt ( weil Bild ⊆ Kern ist) bekommst du:

f(f(v))=f(0)=0

Damit solltest du eine Richtung schonmal können.

Answer 1

a) eine Richtung siehe Kommentar.

andere: Sei  φ◦φ=0   und y ∈ Bild(φ)

==>  Es gibt x ∈ V mit φ(x) = y

     ==>   φ(φ(x)) = φ(y )  wegen φ◦φ=0  also φ(y ) = 0

b) Wie wäre es mit   φ(x,y ) = ( x-y ; x-y ) ?