Aufgabe:
Gegeben seien endlich-dimensionale Vektorräume \( U_{1}, U_{2}, V_{1}, V_{2} \) über einem Körper \( K \). Wir schreiben \( \operatorname{dim} U_{1}=n_{1}, \operatorname{dim} U_{2}=n_{2}, \operatorname{dim} V_{1}=m_{1}, \operatorname{dim} V_{2}=m_{2} \). Es seien \( f_{1}: U_{1} \rightarrow V_{1}, f_{2}: U_{2} \rightarrow V_{2} \) lineare Abbildungen.
1. Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \begin{aligned} f_{1} \oplus f_{2}: U_{1} \oplus U_{2} & \rightarrow V_{1} \oplus V_{2} \\ \left(u_{1}, u_{2}\right) & \mapsto\left(f_{1}\left(u_{1}\right), f_{2}\left(u_{2}\right)\right) \end{aligned} \)
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eine lineare Abbildung ist.
2. Es sei \( \mathcal{B}_{i} \) eine Basis für \( U_{i} \) und \( \mathcal{B}_{i}^{\prime} \) eine Basis für \( V_{i}, i=1,2 \). Wenn \( f_{1} \) durch die \( m_{1} \times n_{1} \)-Matrix \( A_{1} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}^{\prime} \) dargestellt wird und \( f_{2} \) durch die \( m_{2} \times n_{2} \)-Matrix \( A_{2} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{2} \) und \( \mathcal{B}_{2}^{\prime} \), zeigen Sie, dass \( f_{1} \oplus f_{2} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{1}^{\prime} \cup \mathcal{B}_{2}^{\prime} \) durch die \( \left(m_{1}+m_{2}\right) \times\left(n_{1}+n_{2}\right) \)-Matrix
\( \left(\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{array}\right) \)
dargestellt wird.
3. Es sei \( g: U_{1} \oplus U_{2} \rightarrow V_{1} \oplus V_{2} \) eine lineare Abbildung mit \( g\left(U_{1}\right) \subseteq V_{1} \). Welche Form hat die Matrix von \( g \) bezüglich der oben gewählten Basen?
Bemerkung. Wir betrachten hier \( U_{1} \) als Untervektorraum von \( U_{1} \oplus U_{2} \) mithilfe des Isomorphismus \( U_{1} \cong\left\{\left(u_{1}, 0\right) \in U_{1} \oplus U_{2} \mid u_{1} \in U_{1}\right\} \), analog für \( U_{2}, V_{1}, V_{2} \).
Problem/Ansatz:
Hallo kann mir jemand hier helfen? Kann ich bei der eins eine matrix suchen oder muss ich homogen. und addid. beweisen? Und die restlichen Aufgaben verstehe ich nicht. Danke im voraus!
