Warum nehmen unstetige Funktionen nicht immer ein Maximum und Minimum an?

Question

Liebe Lounge,

ich habe in einem Analysis-Buch folgendes gelesen:

Aus anschaulicher Sicht könnte man erwarten, dass in jedem Teilintervall Œti1; ti der größte und der kleinste Funktionswert, also das Maximum und das Minimum anstelle des Supremums und des Infimums gewählt werden. Jedoch existiert dies bei unstetigen Funktionen nicht immer

Könntet ihr das erklären?

Auch eine unstetige Funktion nimmt doch auf einem Intervall I ein Maximum und ein Minimum an!?

Answer 1

$f(x) = \begin{cases} 0& \text{falls } x \leq -1\\ x& \text{falls } -1 < x < 1\\ 0& \text{falls } x \geq 1 \end{cases}$

Infimum ist -1 aber Minimum existiert nicht.

Supremum ist 1 aber Maximum existiert nicht.

Comments

Kann es sein, dass einige Vorzeichen fehlen lieber Oswald?

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Nein, alle Vorzeichen sind dort wo sie hingehören.

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Ok. Kannst du ein Intervall angeben, auf welchem das Maximum/ Minimum nicht angenommen wird?

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Das Intervall [-2, 2].

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Gut. Aber liegt das nicht vielmehr an der Art des offenen Intervalls?

Also ich meine, auch wenn man die Funktion f(x)=x anschaut.

Auf dem Intervall (0;1) wird das Minimum und das Maximum auch nicht angenommen. Supremum ist aber 1, Infimum ist 0...

Ist ja nicht unbedingt eine Folge der fehlenden Stetigkeit?

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Nur damit ich es sicher verstehe: Bei diesem Beweis hätte man auch S * h und I * h schreiben können (wäre in diesem Fall das gleich).

Man schreibt aber Minimum und Maximum, da es eine stetige Funktion ist, die beim Hauptsatz untersucht wird?

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Gut. Aber liegt das nicht vielmehr an der Art des offenen Intervalls?

Ich habe die Unleserlichkeit von Teilintervall Œti1; ti in deiner Frage umschifft indem ich eine Funktion angegeben haben, die auch auf gewisssen abgeschlossenen Intervallen Maximum und Minimum nicht annimmt.

Also ich meine, auch wenn man die Funktion f(x)=x anschaut.
Auf dem Intervall (0;1) wird das Minimum und das Maximum auch nicht angenommen.

Stimmt.

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ok. das verstehe ich. Stimmt meine Aussage zu dem Anfang des Beweises auch?

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Bei diesem Beweis hätte man auch S * h und I * h schreiben können (wäre in diesem Fall das gleich).

Meintest du diese Aussage?

Wenn $f$ das Minimum annimmt, dann ist dieses auch Infimum.

Man schreibt aber Minimum und Maximum, da ...

Es scheint wichtig zu sein, dass $f$ Minimum und Maximum annimmt.

Warum $f$ Minimum und Maximum annimmt, scheint erst ein mal nicht so entscheidend zu sein. Hier ist das der Fall, weil $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist.

Ob Existenz von Infimum und Supremum ausreichen, kann ich nicht beurteilen, weil ich den Zusammenhang nicht kenne.

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Hmm. Es wird hier der erste Teil des Hauptsatzes bewiesen (also, dass die Integralfunktion eine Stammfunktion von F ist).

Das wird in dem Buch so umgesetzt, als dass man den Tatsächlichen Flächeninhalt einschachtelt. Es gilt dementsprechend : m*h ≤ A ≤ M*h.

Im Grenzprozess konvergieren nun m und M gegen f(x).

Passiert das nicht auch mit Supremum und Infimum?

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Passiert das nicht auch mit Supremum und Infimum?

Ja. Weil $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist.

Weil $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, existiert das Maximum und es ist gleich dem Supremum.

Wenn du also wirklich zwischen Supremum (existiert) und Maximum (existiert womöglich nicht) unterscheiden möchtest, dann musst du die Voraussetzung auf einem abgeschlossenen Intervall stetig fallen lassen. Was sollen stattdessen deine Voraussetzungen für die Existenz einer Stammfunktion sein?

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Ok. Das passt vielleicht zu meiner anderen Frage... weshalb der HDI nur für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gilt?

Das leuchtet mir nämlich auch nicht ein und passt ja zu meiner jetzigen Frage..

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Ok. Das passt vielleicht zu meiner anderen Frage... weshalb der Hauptsatz nur für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gilt?

Das leuchtet mir nämlich auch nicht ein und passt ja zu meiner jetzigen Frage..