Aufgabe:
Bei der Produktion eines bestimmten Bauteils treten zwei Fehler auf. Produktionsfehler 1 tritt bei etwa \( 2 \% \) der produzierten Bauteile auf, Produktionsfehler 2 tritt bei etwa \( 4 \% \) der produzierten Bauteile auf. Die beiden Produktionsfehler treten bei keinem Bauteil gemeinsam auf. In der Qualitätskontrolle werden rein zufällig ausgewählte Bauteile auf Ihre Funktionsfähigkeit getestet. Bauteile mit Produktionsfehler 1 sind dabei in \( 90 \% \) der Fälle funktionsunfähig und Bauteile mit Produktionsfehler 2 sind in \( 60 \% \) der Fälle funktionsunfähig. Im Beobachtungszeitraum waren \( 12 \% \) aller getesteten Bauteile beim Test funktionsunfähig.
(a) Notieren Sie alle im Text gegebenen Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Ereignisse
\( F_{1}: \) ein rein zufallig ausgewähltes Bauteil weist Produktionsfehler 1 auf,
\( F_{2}: \) ein rein zufällig ausgewähltes Bauteil weist Produktionsfehler 2 auf,
\( F_{3}: \) ein rein zufällig ausgewähltes Bauteil weist weder Produktionsfehler 1 noch Produktionsfehler 2 auf,
T: ein rein zufallig ausgewähltes Bauteil ist beim Test funktionsunfähig.
(b) Ein rein zufällig ausgewähltes Bauteil ist beim Test funktionsunfähig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist es Produktionsfehler 1 auf?
(c) Zeigen Sie, dass \( P\left(T \mid F_{3}\right) \approx 0,08298 \).
(d) Ein rein zufällig ausgewähltes Bauteil ist beim Test funktionsfähig (wird also vom Test als fehlerfrei deklariert). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieses Bauteil weder Produktionsfehler 1 noch Produktionsfehler \( 2 ? \)
Geben Sie in allen Berechnungen und Begründungen an, welche Definitionen und Sätze Sie verwenden.
Geben Sie Ihre Ergebnisse als Dezimalzahlen an. Geben Sie einen vollständigen Lösungsweg an.
