Drehung in R2 mit Matrix mit anschließender Winkelbestimmung

Question

Hallo ich hab folgende Aufgabe und weiß nicht wie ich sie angehen soll.

Für α∈[0,2π) sei A_α= $$\begin{pmatrix}  cosα & -sinα \\ sinα & cosα \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie für ein beliebiges v∈R2\{0} den orientierten (d.h. math. positiv gemessen) Winkel β(v)∈[0,2π) zwischen v und A_αv ausgehend von v

Schon mal danke für die Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Da wir ein beliebiges \(\vec v\) wählen dürfen, nehmen wir \(\vec v=\binom{1}{0}\):

$$\vec v\,'=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

Der Winkel zwischen \(\vec v'\) und \(\vec v\) folgt mit Hilfe des Skalarproduktes:$$\beta=\arccos\left(\frac{\binom{1}{0}\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\left\|\binom{1}{0}\right\|\left|\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right\|}\right)=\arccos\left(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1^2+0^2}\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}}\right)$$$$\phantom{\beta}=\arccos(\cos\alpha)=\alpha$$

Die Matrix ist eine Rotationsmatrix, die einen Vektor um den Winkel \(\alpha\) (links herum) verdreht.