Berechne den Normalabstand des Punktes A=(1 2 3 4) zum vektorraum V

Question

Aufgabe:

Berechne den Normalabstand des Punktes A=(1 2 3 4) zum vektorraum V für

a) V:= <(1 1 1 1), (0 0 1 1), (-1 0 0 1)>

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand den Rechenweg (auch bildlich) erklären, bitte?

Answer 1

Aloha :)

Wir benötigen zunächst einen Vektor $\vec n$, der auf den 3 Vektoren senkrecht steht:

$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\-1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n=\alpha\left(\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right)\quad;\quad\alpha\in\mathbb R$$Ich habe nur das Ergebnis des LGS angegeben, wenn du bei der Berechnung Fragen hast, bitte einfach in den Kommentaren stellen.

Für $\alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac{1}{2}$ erhalten wir den normierten Vektor:$$\vec n^0=\left(\begin{array}{r}1/2\\-1/2\\-1/2\\1/2\end{array}\right)$$

Der Vektorraum $\vec V$ muss den Nullpunkt enthalten. Daher können wir den Ortsvektor $\vec a=(1;2;3;4)^T$ vom Ursprung zum Punkt $A$ auf $\vec n^0$ projezieren, um den Abstand $d$ zu berechnen.$$d=\vec n^0\cdot \vec a=\left(\begin{array}{r}1/2\\-1/2\\-1/2\\1/2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=0$$

Der Punkt $A(1;2;3;4)$ hat also den Abstand $0$ vom Vektorraum $V$, also liegt $A$ in $V$. Und tatsächlich gilt:$$\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\\1\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)$$

Comments

Erstmals vielen vielen Dank! Aber wir haben die Matrizen noch nicht behandelt. Gibt´s da einen anderen Rechenweg?

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Die Matrixschreibweise ist im Prinzip eine Kurzform für:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=0\quad\Longleftrightarrow\quad n_1+n_2+n_3+n_4=0$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=0\quad\Longleftrightarrow\quad n_3+n_4=0$$$$\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=0\quad\Longleftrightarrow\quad -n_1+n_4=0$$Aus diesen 3 Gleichungen kannst du den Normalenvektor $\vec n$ bestimmen. Aus der ersten Gleichung und der zweiten Gleichung:$$n_1+n_2+n_3+n_4=0\quad;\quad n_3+n_4=0$$ folgt sofort, dass $n_1+n_2=0$ gelten muss, bzw.:$$n_2=-n_1$$Aus der letzten Gleichung folgt:$$n_4=n_1$$und aus der zweiten Gleichung folgt:$$n_3=-n_4=-n_1$$Wir können also alle Komponenten von $\vec n$ durch $n_1$ ausdrücken:

$$\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n_1\\-n_1\\-n_1\\n_1\end{pmatrix}=n_1\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$Wenn du jetzt $n_1=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{1}{2}$ wählst, hat der Normalenvektor die Länge $1$ und es folgt:$$\vec n^0=\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\\-1/2\\1/2\end{pmatrix}$$

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Was sind in dem Fall n1 n2 n3 n4? Welche Vektoren muss ich denn skalar multiplizieren?

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Die $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ sind die Komponenten des Normalenvektor $\vec n$, der auf allen 3 Vektoren aus der Basis senkrecht steht. Das heißt, jeder Basisvektor muss multipliziert mit $\vec n$ den Wert $0$ ergeben. Daraus kann man $\vec n$ wie gezeigt bestimmen.

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Okay, vielen Dank! Kann ich dir eventuell Fragen stellen, falls welche auftauchen?

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Klar. Wenn sich die Fragen auf die konkrete Aufgabe beziehen, dann gerne hier... Sonst mach bitte einen neuen Thread auf.