Summenreihe und Grenzwert

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

∞
∑ 6ⁿ+2/2³ⁿ-2 
n=2

mein Ansatz ist es zunächst. die Potenz aufzulösen, sodass 6² und 6ⁿ stehen bleibt im Zähler. Im Nenner hab ich das Problem. soll ich zunächst einmal 2^-2 und 2³ⁿ bilden und dann 2³ⁿ multiplizieren zu 8ⁿ.

Wenn mir jemand konkret erklären würde warum und wie ich zum Ergebnis komme, bin ich sehr dankbar.

liebe Grüße abc

Comments

So wie Du es aufgeschrieben hast, existiert kein Grenzwert, sondern die Reihe divergiert. So wie es vielleicht gemeint sein könnte (?) ist der Wert 324, siehe unten.

Answer 1

Meinst du: 6^(n+2)/2^(3n-2) ?

Falls ja :

= 6ⁿ*6²/(2³ⁿ*2^-2) = 36*6ⁿ/(8ⁿ*1/4)

= 144*(6/8)ⁿ = 144*(3/4)ⁿ

Summenwert = 144* a0/(1-q)

a0= (3/4)², q= 3/4

-> Summenwert = 324

Comments

Mit deiner Summenformel stimmt etwas nicht, da müsste ja etwas Negatives rauskommen.

3/4 - 1= - 1/4

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Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

1-3/4 = 1/4 :)

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Das ist richtig, aber nicht das, was du geschrieben hast.

"Summenwert = 144* a0/(q-1)"

mit q=3/4 wird (q-1)=3/4-1= - 1/4

und das ist falsch.

Dann hast du noch einen Fehler gemacht und das Minus übersehen  und dann war es wieder richtig.

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Ja, ich hab 1-p gemeint, aber p-1 geschrieben.

Danke, werde edieren. :)

Answer 2

Geändert nach Hinweis von Gast2016

$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{6^{n+2}}{2^{3n-2}} }=144* \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{6^{n}}{2^{3n}} }=$$$$144* \sum\limits_{n=2}^{\infty}{(\frac{3}{4})^n}=$$$$144*\frac{9}{4}=36*9=324$$

Nebenrechnung Summe

$$1*S=(\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^3+...+(\frac{3}{4})^n$$$$(\frac{3}{4})*S=(\frac{3}{4})^3+(\frac{3}{4})^4+....+(\frac{3}{4})^{n+1}$$$$(1-\frac{3}{4})*S=(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4})^{n+1}$$$$n→∞ ; \frac{1}{4}*S= (\frac{3}{4})^2$$$$S=\frac{9}{4}$$

Comments

Indexverschiebung wäre nicht erforderlich. Es geht direkt mit der Summenformel.

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Ich kenne die Summenformel nicht, ich reime mir das immer wieder neu zusammen. a^(∞)->0 ;a⁰=1 usw., da bin ich in Kopf dann auf 4 gekommen.

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Ergänzt...................

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Geändert nach Hinweis von Gast2016