Bestimmtes Integral als Summenreihe

Question

ich soll folgendes beweisen:

 

Als Hinweise sind gegeben: Taylorapproximation und Restgliedabschätzung

Nun habe ich erstmal Ableitungen vom Integranten gebildet und bin darauf gekommen, dass die k-te Ableitung sich folgendermaßen beschreiben lässt:

 , wobei k∈ℕ\{0}.

Nur jetzt habe ich keine weitere Idee, wie man fortfahren könnte. Zudem ist mir nicht klar, welche Entwicklungsstelle x0 gewählt werden soll, um eine Taylorapproximation und Restgliedabschätzung vorzunehmen.

Answer 1

die Entwicklungsstelle ist x=0. Du kannst die Taylorreihe auch nachschlagen, 

LN(1+x)=x-x^2 /2 +x^3 /3 -x^4 /4 +...

= ∑ (k=1 bis ∞)  (-1)^{k+1} x^k /k

Stammfunktion (mit Integrationskonstante C=0)

∑ (k=1 bis ∞)  (-1)^{k+1} x^{k+1} /(k(k+1))

Obere Grenze (x=1) gibt

∑ (k=1 bis ∞)  (-1)^{k+1} 1 /(k(k+1))

und das ist auch das Ergebnis, da die untere Grenze eingesetzt 0 ergibt.