Zufallsgrößen: Berechnen Sie Cov(-9X_{1} - X_{2}, X_{1} - 19X_{2})

Question

Aufgabe:

Es seien \( X_{1} \) und \( X_{2} \) Zufallsgrößen mit \( \sigma_{1}^{2}=14, \sigma_{2}^{2}=18 \) und \( \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{12}=12 \)

Berechnen Sie \( \operatorname{Cov}\left(-9 X_{1}-X_{2}, X_{1}-19 X_{2}\right) \)

Antwort: 2256.0

Problem/Ansatz:

ich komme hier auf 2280, aber 2256 ist korrekt kann mir bitte jemand sagen wie man aud diesen Wert kommt vielen Danke.

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine sogenannte Bilinearform. Das heißt, sie ist linear in der ersten und in der zweiten Komponente.

$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(-9X_1-X_2;X_1-19X_2)$$$$=\operatorname{Cov}(-9X_1;X_1-19X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2;X_1-19X_2)$$$$=-9\operatorname{Cov}(X_1;X_1-19X_2)-\operatorname{Cov}(X_2;X_1-19X_2)$$$$=-9\left(\,\operatorname{Cov}(X_1;X_1)+\operatorname{Cov}(X_1;-19X_2)\,\right)-\left(\,\operatorname{Cov}(X_2;X_1)+\operatorname{Cov}(X_2;-19X_2)\,\right)$$$$=-9\left(\,\operatorname{Cov}(X_1;X_1)-19\operatorname{Cov}(X_1;X_2)\,\right)-\left(\,\operatorname{Cov}(X_2;X_1)-19\operatorname{Cov}(X_2;X_2)\,\right)$$$$=-9\left(\,\sigma_1^2-19\sigma_{12}\,\right)-\left(\,\sigma_{12}-19\sigma_2^2\,\right)$$$$=-9\sigma_1^2+170\sigma_{12}+19\sigma_2^2$$$$=-9\cdot14+170\cdot12+19\cdot18$$$$=2256$$