Folgerung aus Stetigkeit zu 0 mit f(x + y) = f(x) + f(y)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( 0 . \) Weiter sei \( f(0)=0 \) und \( f(x+y)=f(x)+f(y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} . \) Zeigen Sie, dass \( f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig ist.

Mein Ansatz wäre, dass man von x und y eine Variable auf 0 setzt und der andere Variable einen beliebigen Wert aus den rationalen Zahlen zuordnen kann. Dadurch müsste f auch für jede beliebige rationale Zahl stetig sein, da f(x+y) = f(x) + f(y). Ich bin mir jedoch nicht sicher ob man so argumentieren kann und wie man das formell aufschreiben kann.

Answer 1

Vielleicht kann man das so machen.

1.) Wegen $$  0 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) \text{  folgt } f(-x) = -f(x) $$

2.) Und es gilt $$ f(x-y) = f(x + (-y)) = f(x)+f(-y) = f(x)-f(y) $$

3.) Da \( f \) in \( x = 0 \) steitg ist gilt, zu jedem \( \varepsilon \) ex. \( \delta \) mit \( |f(x)-f(0)| < \varepsilon \) wenn \( |x-0|=|x| < \delta \)

Jetzt zur Stetigkeit von \( f \). Es ist zu zeigen, zu jedem \( \varepsilon > 0 \) gibt es ein \( \delta > 0 \) mit $$ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \text{  falls }  | x - x_0 | < \delta $$

Wegen der Stetigkeit von \( f \) in \( 0 \) gibt es ein \( \delta > 0 \) s.d. für jedes \( \varepsilon > 0 \) $$ | f(x-x_0) -f(0) | < \varepsilon $$ falls \( |x-x_0| < \delta \)

Wegen \( f(x) - f(x_0) = f(x-x_0) \) folgt die Stetigkeit.

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen :)

Answer 2

Aus den Zusatzbedingungen kannst du Folgendes schließen:

$$0 = f(0)  = f(x-x) = f(x + (-x))  = f(x) + f(-x)$$ und dies impliziert:

$$f(x) = -f(x).$$

Anschließend solltest du dir überlegen, wie du das Nutzen kannst, um das Epsilon-Delta-Kriterium benutzen kannst.