ich hänge bei den beiden Aufgaben und komme nicht weiter!
Untersuchung auf Konvergenz
a) an=(3/10)^n, ε=0,001
b) an=(1-n)/n^2, ε=0,01
Die Grenzwerte habe ich für beide berechnet, jedoch komme ich nicht darauf, ab welchem n die Folge innerhalb der Epsilon-Umgebung liegt.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen!
Vielen Dank!
Betrachte den Ansatz \(|a_n-g|<\varepsilon\), wobei \(g\) der Grenzwert von \(a_n\) ist. Jetzt setze einfachmal alles ein und löse nach \(n\) auf. Das ganze ist aber nur dann sinnvoll, wenn du nachweisen kannst, dass deine beiden Folgen konvergieren, bzw. du konntest zeigen:
$$ \forall \ \varepsilon>0 \ \exists \ N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\ \forall n\geq N_{\varepsilon}: |a_n-g|<\varepsilon $$. Dann wirst du auch die Ungleichung lösen können.
Genau das Auflösen nach n ist mein Problem ;-)
Naja beispielsweise hast du bei a) \(\left |\left(\frac{3}{10}\right)^n-g\right|<0.001\). Was ist dein Grenzwert g?
Grenzwert ist 0
Richtig. Dann schreibe mal mit dieser Information den Ausdruck vereinfachter hin.
(\( \frac{3}{10} \))\( ^{n} \) < 0,001
Das sieht schonmal gut aus. Welche Umkehroperation bietet sich denn hier an, um an das \(n\) heranzukommen?
n-te Wurzel ziehen
Kann man machen, würde ich aber nicht.
logarithmieren?
Genau! Welcher Logarithmus bietet sich denn hier besonders günstig an?
Der Zehnerlogarithmus
Das würde ich auch sagen. Und welches \(n\in \mathbb{N}\) musst du dann nehmen wenn du deine Lösung nach der Variablen n aufgelöst betrachtest?
Sorry ich check's gerade nicht
Du sollst ja am Ende eine natürliche Zahl angeben.
Das bringt mich gerade leider nicht weiter, zudem wir bei den Aufgaben keinen TR benutzen dürfen
Was ist denn zunächst dein Ergebnis nach n aufgelöst?
n*ln(3/10)=ln(1/1000)
n = ln(0,001)/ln(3/10)
Hier benutzt du aber die Schreibweise des natürlichen Logarithmuses. Außerdem hast du hier eine Ungleichung.
Es muss eher lauten:
\(n\cdot \log_{10}\left(\frac{3}{10}\right)<\log_{10}(0.001)\), bzw
mit den Logarithmusgesetzen
\(n\cdot \big(\log_{10}(3)-\log_{10}(10)\big)<\log_{10}(0.001)\). Vereinfache jetzt du mal weiter.
n*(log10 (3) - 1) < -3
n*((log10 (3)) < -2
Ok, wie kannst du es weiter vereinfachen?
Nein, sorry. Deine zweite Zeile ist falsch.
weiter komme ich nicht
Du solltest dich mal mit Lösen von Ungleichungen beschäftigen.
muss die 2. zeile
n*((log10 (3)) < -3+n
heißen?
Das stimmt zwar, aber du willst n haben. Bedenke dass \(\log_{10}(1)=0<\log_{10}(3)<1=\log_{10}(10)\) gilt.
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