Orthogonale Vektoren Multiple choice

Question

Zwei Vektoren $u, v$ heißen Orthogonal, geschrieben $u \perp v,$ wenn $\langle u, v\rangle=0$ gilt.

Welche Antworten sind richtig, welche falsch?

Antworten:

1. Die Relation $\perp$ ist symmetrisch

2. Die Relation $\perp$ ist reflexiv

3. Die Relation $\perp$ ist transitiv

4. Es gibt in einem n-dimensionalen Vektorraum genau $n$ orthogonale Vektoren

5. Wenn $A$ eine Menge mit $\forall u, v \in A: u \neq v \Longrightarrow\langle u, v\rangle=0$ ist, die nicht den Nullvektor enthalt, kann daraus eine Menge $B$ mit gleicher Kardinalität konstruiert werden, die zusătzlich $\forall u \in B:\langle u, u\rangle=1$ erfült.

Answer 1

Zu 5.) Betrachte $A:=\{v_1,...,v_m\}$ mit $\langle v_i, v_j\rangle=0, \forall i\neq j$. Definiere nun $v_i':=\frac{1}{\|v_i\|}\cdot v_i$ für alle $i=1,...,m$. Betrachte nun $\langle v_i', v_j'\rangle$.

Comments

Also ist die Aussage wahr. Dankeschön

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Ja, wobei mein Ansatz zu kompliziert war. Ich habe dir mal einen schöneren Ansatz hingeschrieben, der auch ohne Darstellungsmatrizen auskommt.

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@hallo97, ich habe mir im Kern das gleiche überlegt wie du, ich spare mir mal meine Antwort und gebe dir die +1. Beachte aber, dass in deinem A das u fehlt...

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Ah Danke. Ich habe es angepasst.

Answer 2

1. Die Relation $\perp$ ist symmetrisch

richtig

2. Die Relation $\perp$ ist reflexiv

falsch

3. Die Relation $\perp$ ist transitiv

falsch

4. Es gibt in einem n-dimensionalen Vektorraum genau $n$ orthogonale Vektoren

richtig

Comments

Okay danke schon mal für die rasche Antwort. Haben Sie zu 5 keine Idee?

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nein, leider nicht.