Aufgabe:
Text erkannt:
Wählen Sie den Parameter \( k \in \mathbb{R} \) so, dass die Differentialgleichung
$$ y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+k y=0 $$
eine Lösung der Form \( y=x e^{\lambda x} \) hat für ein geeignetes \( \lambda \)
Problem/Ansatz:
Ich bin mit folgender Überlegung zur Lösung gekommen.
Wenn wir eine doppelte Nullstelle haben, sieht die Lösung wie folgt aus: C1 * e^ax + C2 * x*e^ax
Also:
d^2 + 8d + k = 0
muss k ein quadrat sein, welches gleichzeitig auch 8d ergibt, dies wäre bei 4 der Fall. Also muss k = 16 sein.
Wie würde man das aber mathematisch lösen? Gibt es einen "sichereren" Weg für die Prüfung?
Danke vielmals!
