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derzeit beschäftige ich mich mit einer Aufgabe über quadratische Gleichungen. Zwar habe ich bereits Ansätze zu den Aufgaben gesammelt, bin mir jedoch recht unsicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin.


Aufgabe:

Ein Tank wird zunächst 80 Stunden mit Wasser gefüllt. Nach Befüllung wird dem Tank kontinuerlich wieder Wasser entnommen. Die Füllmenge kann in Abhängigkeit der Zeit t in Stunden (für 0 ≤ t ≤ 160) durch folgenden Term angegeben werden:

$$ T=-\frac{1}{40} t^{2}+4 t+40 $$

a) Bestimmen Sie, wie viel Wasser zu Beginn der Befüllung bereits im Tank vorhanden ist.

b) Wie viel Wasser befindet sich nach dem Abschluss der Befüllung bereits im Tank?

c) Berechnen Sie, in welchem Zeitpunkt sich immer wenigstens 190 Liter im Tank befinden.


Problem/Ansatz:

a) Da der Tank zunächst 80 Stunden mit Wasser gefüllt wird, habe ich für t=80 eingesetzt, sprich:

$$ -\frac{1}{40} \cdot 80^{2}+4 \cdot 80+40=200 $$

Somit wären zu Beginn 200 Liter im Tank.

b) Da für 0 ≤ t ≤ 160 gegeben ist, habe ich die 160 als Abschluss interpretiert. Entsprechend habe ich den für t=160 gewählt.

$$ -\frac{1}{40} \cdot 160^{2}+4 \cdot 160+40=40$$

Nach Abschluss der Befüllung wären dann 40 Liter im Tank, da kontinuierlich Wasser entnommen wird?

c) Hier habe ich die quadratische Gleichung mit 190 gleichgesetzt.

$$ \begin{array}{l}{-\frac{1}{40} \cdot t^{2}+4 \cdot t+40=190} \\ {t^{2}-160 \cdot t+6000=0} \\ {L=\{60,100\}}\end{array} $$

Dem Ergebnis nach wäre der Tank sowohl nach 60 Stunden als auch nach 100 Stunden mit 190 Litern befüllt.


Ich würde mich freuen, wenn mir jemand mitteilen könnte, ob ich mich bereits auf dem richtigen Weg befinde oder ob ich die Aufgabe falsch angegangen bin.

Vorab vielen Dank für die Zeit.

von

2 Antworten

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Beste Antwort

a) Zu beginn bedeutet t = 0

b) Hier sollst du für t = 80 einsetzen.

c) Die schwierigste Aufgabe hast du völlig richtig gemacht :) Formuliere dann die Antwort auch entsprechend der Fragestellung: Im Zeitraum von der 60. bis zur 100. Stunde befinden sich wenigstens 190 Liter im Tank.

von 430 k 🚀

Die Aufgabe c) kam mir noch am leichtesten vor, da mich dort keine Angaben wie oben mit t=80 verwirrt haben.

Aus welchem Grund ist 0 ≤ t ≤ 160 bis zur 160 angegeben? Lediglich ein Definitionsbereich für den Term oder hat der Wert 160 eine spezifischere Bedeutung bei dieser Aufgabe?

Das ist der Definitionsbereich und der ganze Prozess.

Am Anfang sind 40 Liter im Tank dann kommen in den ersten 80 Stunden 160 Liter hinzu, sodass dann 200 Liter im Tank sind. Danach wird kontinuierlich Wasser entnommen, sodass sich nach 160 Minuten insgesamt wieder nur noch 40 Liter im Tank befinden.

In Kurzform lauten die richtigen Antworten dann:

a) Bestimmen Sie, wie viel Wasser zu Beginn der Befüllung bereits im Tank vorhanden ist.

T(0) = 40 Liter

b) Wie viel Wasser befindet sich nach dem Abschluss der Befüllung [bereits] im Tank?

T(80) =  200 Liter

c) Berechnen Sie, in welchem Zeitraum sich immer wenigstens 190 Liter im Tank befinden.

T(t) = -1/40·t^2 + 4·t + 40 = 190 → t = 60 ∨ t = 100
Im Zeitraum von der 60. bis zur 100. Stunde befinden sich wenigstens 190 Liter im Tank.

Vielen Dank! Die Erklärung hat es nochmals verständlicher gemacht.

Dieselben Ergebnisse habe ich mit entsprechendem Einsetzen ebenfalls berechnet.

0 Daumen

Die Füllmenge kann in Abhängigkeit der Zeit t in Stunden (für 0 ≤ t ≤ 160) durch folgenden Term angegeben werden:
T=−1/40·t2+4t+40.

Die Frage ist: Welcher Zeitpunkt ist t=0, Der Beginn der Leerung oder der Beginn der Füllung. Da die gegebene Funktion diesen Graphen hat

blob.png

ist anzunehmen, dass t=0 der Beginn der Füllung ist. Dann stimmen alle deine Ergebnisse

von 111 k 🚀

Aber wenn wir davon ausgehen, dass t=0 der Beginn ist, dann dürften meine Ergebnisse, wie Der_Mathecoach erwähnt hat, falsch sein (zumindest a) sowie b)), oder?

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