Flächeninhalt zwischen zwei Graphen & der angegebenen Gerade

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von \( f \) und \( g \) sowie den angegebenen Geraden begrenzt wird.
b) \( f(x)=x^{3} ; g(x)=x ; x=0 ; x=1 \)
a) \( f(x)=0.5 x ; g(x)=-x^{2}+4 ; x=-1 ; x=1 \)

Problem/Ansatz:

Ich bin sehr überfordert. Kann mir bitte jemand die Aufgabe vorrechnen, damit ich das Prinzip verstehe?

Aufjedenfall müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden, wahrscheinlich, indem man die f(x) und g(x) gleichsetzt?

Danach muss ich den Hauptsatz bilden,

Ist es immer f(x)- g(x)? Ich habe aufgeschnappt, dass es wichtig ist das f(x) über g(x) liegt, richtig?

Was hat es mit den Geraden auf sich?

Och, ich weiß es doch auch nicht...

Trotzdem vielen Dank!

Answer 1

Text erkannt:

\( f(x)=x^{3} \) und \( g(x)=x \)
Schnittpunkte berechnen :
\( x^{3}=x \)
\( x^{3}-x=0 \)
\( x \cdot\left(x^{2}-1\right)=0 \)
\( x_{1}=0 \)
\( \left(x^{2}-1\right)=0 \)
\( x_{2}=1 \)
\( x_{3}=-1 \)
\( A=\int \limits_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) \cdot d x=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{2}}{2}\right]-\left[\frac{0^{4}}{4}-\frac{0^{2}}{2}\right]=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-0=-\frac{1}{4} \)
Die gesuchte Fläche ist \( \frac{1}{4} F E \) groß
Hättest du so gerechnet: \( A=\int \limits_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right) \cdot d x \) wäre \( \frac{1}{4} \) herausgekommen.

Text erkannt:

\begin{tabular}{l}
A \\
\hline
\end{tabular}