Geben sie einen Isomorphismus zwischen R3 und U={ (v1 v2 v3 v4) ∈ R4 : v1 + v2 + v3 + v4 = 0} ⊆ R4

Question

Aufgabe:

Geben sie einen Isomorphismus zwischen R³ und U={ (v₁ v₂ v₃ v₄) ∈ R⁴ : v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 0} ⊆ R⁴

Problem/Ansatz:

hat jemand eine Idee, hab Isomorphie noch nicht ganz begriffen

Answer 1

U soll ein 3-dimensionaler Unterraum sein, damit überhaupt ein Isomorphismus existieren kann. Wir versuchen eine Basis von U zu finden. Sei v aus U,e1,...,e4 Standardbasis von R^4, dann gilt
v=v1e1+v2e2+v3e3+v4e4=v1e1+v2e2+v3e3-(v1+v2+v3)e4= v1(e1-e4)+v2(e2-e4)+v3(e3-e4).
(*) Dies zeigt dass (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4) ein Erzeugendensystem von U bilden.
Desweiteren aus 0 = v1(e1-e4)+v2(e2-e4)+v3(e3-e4)  folgt dass v1,...,v3 = 0 sind.
Dies zeigt dass (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4) linear unabhängig sind.

Nun ist eine lineare Abbildung f durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt: wir schicken Standardbasis des R^3 b1,b2,b3 auf (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4). Die Abbildungsmatrix ist dann

1	0	0
0	1	0
0	0	1
-1	-1	-1

Surjektivität folgt aus (*). R^3 und U haben gleiche Dimension, also ist f auch injektiv.