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Aufgabe:

Geben sie einen Isomorphismus zwischen R3 und U={ (v1 v2 v3 v4) ∈ R4 : v+ v+ v+ v= 0} ⊆ R4

Problem/Ansatz:

hat jemand eine Idee, hab Isomorphie noch nicht ganz begriffen

von

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U soll ein 3-dimensionaler Unterraum sein, damit überhaupt ein Isomorphismus existieren kann. Wir versuchen eine Basis von U zu finden. Sei v aus U,e1,...,e4 Standardbasis von R^4, dann gilt
v=v1e1+v2e2+v3e3+v4e4=v1e1+v2e2+v3e3-(v1+v2+v3)e4= v1(e1-e4)+v2(e2-e4)+v3(e3-e4).
(*) Dies zeigt dass (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4) ein Erzeugendensystem von U bilden.
Desweiteren aus 0 = v1(e1-e4)+v2(e2-e4)+v3(e3-e4)  folgt dass v1,...,v3 = 0 sind.
Dies zeigt dass (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4) linear unabhängig sind.

Nun ist eine lineare Abbildung f durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt: wir schicken Standardbasis des R^3 b1,b2,b3 auf (e1-e4), (e2-e4), (e3-e4). Die Abbildungsmatrix ist dann

1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1 -1 -1

Surjektivität folgt aus (*). R^3 und U haben gleiche Dimension, also ist f auch injektiv.

von

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