Warum ist (1-x)*Summe(n*x^n)=x/(1-x)

Question

Warum gilt bei |x|<1:

(1-x)∑(n≥0)(n*x^n)=x /(1-x)

Comments

(1-x)∑(n≥0)(n*xⁿ)=x/(1-x)

Kommt in meinem Beweis so raus.

Answer 1

(1-x)∑(n≥0)(n*xⁿ)=1/(1-x)

= ∑(n≥0)(1-x)(n*xⁿ)

= ∑(n≥0)((n*xⁿ) - n*x^{n+1})

= 0*x^0 - 0*x^1 + 1*x^1 - 1*x^2 + 2*x^2 - 2x^3 + 3x^3 - 3x^4 + 4x^5 - 4x^5 + ...
= x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 ....

ist eine geometrische Reihe für |x| < 1 konvergiert sie gegen

x*(1/(1-x)) = x/(1-x) qed

Deine Summe hier ist ähnlich wie eine Teleskposumme.