Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion und sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \). Wir setzen \( f_{n}(x):=f\left(x+a_{n}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} \) und \( x \in \mathbb{R} \)
1) Zeigen Sie: Ist \( f \) stetig, so konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) punktweise gegen \( f \).
2) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Konvergenz in 1 ) im Allgemeinen nicht gleichmäßig ist.
3) Zeigen Sie: Ist \( f \) differenzierbar und \( f^{\prime} \) beschränkt, so konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sogar gleichmäßig gegen \( f \).
