Aloha :)
Die Nullstellen der Funktion finden wir durch Faktorisierung:$$f(x)=0,5x^3+x^2-1,5x=\frac{1}{2}x\left(x^2+2x-3\right)=\frac{1}{2}x(x+3)(x-1)$$Daraus lesen wir die Nullstellen \(x=0\), \(x=1\) und \(x=-3\) ab.
Für die Extrema benötigen wir die Nullstellen der Ableitung:$$f'(x)=\frac{3}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(x^2+\frac{4}{3}x-1)$$Mittels der pq-Formel finden wir die Kandidaten für Extremstellen:$$x_{1;2}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{4}{9}+1}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}$$Zur Bestimmung des Typs der Extrema benötigen wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=3x+2$$$$f''\left(\frac{-2-\sqrt{13}}{3}\right)\approx-7,6056<0\implies\text{Maximum}$$$$f''\left(\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\right)\approx3,6056>0\implies\text{Minimum}$$Wir haben also die folgenden Extrema:$$\text{Max}\left(\frac{-2-\sqrt{13}}{3}\,\bigg|\,3,0323\right)\quad;\quad\text{Min}\left(\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\,\bigg|\,-0,43971\right)$$
Das Steigungsverhalten kannst du dir anhand der Extrema überlegen. Vor dem Maximum muss die Funktion ansteigen. Nach dem Maximum muss sie bis zum Minimum abfallen. Nach dem Minimum muss sie wieder ansteigen.
~plot~ 0,5x^3+x^2-1,5x ; {(-2-sqrt(13))/3|3,0323} ; {(-2+sqrt(13))/3|-0,43971} ; [[-4|3|-3|4]] ~plot~
