Polynomfunktion p(x) = 2x^3 - 6x - 4. Faktorzerlegung ohne Taschenrechner?

Question

Aufgabe:

p(x) = 2x^3 - 6x - 4

Nullstellen herausfinden und quantitativen Graph zeichnen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich ohne Taschenrechner zur Faktor-Zerlegung komme:

2(x+1)^2(x-2)

Die Nullstellen wären jetzt ja: doppelt -1 und 2

Wie bekommt man jetzt die lokale Approximation? Bzw. was ist das genau?

Wäre dankbar für eure Hilfe. Den Graphen kann ich danach selber zeichnen, wenn ich die lokalen Approximationen weiss.

Answer 1

p(x) = 2x³ - 6x - 4

Die Koeffizienten sind ganze Zahlen. Laut dem Satz über rationale Nullstellen gilt deshalb: hat p eine rationale Nullstelle z/n (vollständig gekürzter Bruch), dann ist z ein Teiler von 4 und n ein Teiler von 2. Als rationale Nullstellen kommen deshalb in Frage:

        ±4/2, ±2/2, ±1/2, ±4/1, ±2/1, ±1/1

Du brauchst also nur endlich viele (hier 8) Zahlen testen um eine rationale Nullstelle zu finden.

Die gefundene Nullstelle kannst du dann für eine Polynomdivision verwenden.

Comments

Warum nicht erst 2 ausklammern?

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Ist deine Frage ernst gemeint?

Answer 2

f(x) = 2·x^3 - 6·x - 4

Eine erste Nullstelle x = 2 findet man schnell durch Probieren. Damit kann man eine Polynomdivision oder das Horner-Schema durchführen.

(2·x^3 - 6·x - 4) / (x - 2) = 2·x^2 + 4·x + 2 = 2·(x^2 + 2·x + 1)

Jetzt erkennt man noch gleich eine Binomische Formel und damit ist die Faktorzerlegung schon fertig.

2·x^3 - 6·x - 4 = 2·(x - 2)·(x + 1)^2

Ich bin sicher das du anhand des Globalverhaltens vom III in den I Quadranten und den Nullstellen und deren Vielfachheit jetzt auch den Graphen quantitaviv skizzieren kannst.

Was genau hier mit lokaler Approximation gemeint ist, verrät vielleicht der Kontext in dem das von dir verlangt wird. Leider hast du nicht die Komplette Aufgabenstellung angegeben. Dann könnte man dazu vielleicht etwas mehr sagen.

Comments

"quantitativen Graph"

Was soll das genau bedeuten? Noch nie gehört.

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Es ist sicherlich gemeint
qualitativ : Skzze ( ungefähr )
Hoch-und Tiefpunkte, Nullstellen, Wendepunkte
genau berechnen und eintragen, dann die Punkte
verbinden.
quantitativ : Mehr Werte berechnen und dann
genauer zeichnen.

(* Scherzmodus ein *)
Qualität : Bier
Quantität : 1 Flasche, 1 Kasten, 1 Faß
(* Scherzmodus aus *)

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Quantitativ heißt in Zahlen messbar

Qualitativ heißt nicht in Zahlen Messbar. Die Nullstellen wären in Zahlen messbar und können quantitativ eingezeichnet werden.

Andere Angaben wie Extrempunkte und Wendepunkte könnten hier mit Berechnung auch quantitativ berechnet werden, aber es langt sicher Extrem- und Wendepunkte hier qualitativ zu skizzieren.

So haben wir es zumindest im Unterricht gemacht.

Denn laut Aufgabenstellung sind diese ja auch nicht zu berechnen.

Im Zweifel kann der Fragesteller sicher weiterhelfen, denn seine Aufgabe war es den Graphen quantitativ zu zeichnen. Es kann aber auch sein das er sich verschrieben hat und qualitativ benutzen wollte.

Answer 3

p(x) = 2x^3 - 6x - 4

Systematisch raten ist hier besonders einfach, da 2+4 = 6. Daher mal mit 1 oder -1 testen.

1 passt nicht.

p(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - 4 = -2 + 6 - 4 passt.

Nun die andern Nullstellen so wie oswald das theoretisch beschrieben hat. Der Link dort gibt dir den Hintergrund genauer an.

2 ausklammern zu Beginn macht die Sache noch etwas einfacher. 

2(x+1)^2(x-2)

Die Nullstellen wären jetzt ja: doppelt x1 = -1 und einfach x2 =  2

Hast du vermutlich so gemeint.

Answer 4

Aloha :)

Im ersten Schritt klammerst du den Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten aus.$$p(x)=2x^3-6x-4=2(x^3-3x-2)$$Nun kannst du versuchen, eine Nullstelle zu erraten. Sehr gute Kandidaten für Nullstellen sind alle Teiler der Zahl, die ohne jedes \(x\) da steht, hier also alle Teiler der \(2\). Ihre Teiler sind \(\pm1\) und \(\pm2\). Wir erkennen, dass die \(-1\) schon eine Nullstelle ist, denn: \((-1)^3-3(-1)-2=-1+3-2=0\). Die Nullstelle bei \(-1\) bedeutet, dass der Faktor \((x+1)\) in dem Polynom stecken muss, denn \((x+1)\) wird \(0\), wenn \(x=-1\) ist.

Es kommt aber noch besser, denn auch die \(2\) entpuppt sich als Nullstelle. Es ist nämlich: \(2^3-3\cdot2-2=8-6-2=0\). Die Nullstelle bei \(2\) bedeutet, dass der Faktor \((x-2)\) in dem Polynom stecken muss.

Polynomdivision 1 ergibt: \((x^3-3x-2):(x+1)=x^2-x-2\)

Polynomdivision 2 ergibt: \((x^2-x-2):(x-2)=x+1\)

$$\Rightarrow\quad p(x)=2(x+1)(x^2-x-2)$$$$\phantom{\Rightarrow\quad p(x)}=2(x+1)(x-2)(x+1)$$$$\phantom{\Rightarrow\quad p(x)}=2(x+1)^2(x-2)$$

Comments

Wenn zwei Nullstellen bereits bekannt sind, berechnet sich die dritte nach Vieta relativ leicht aus x₁ + x₂ + x₃ = 0.

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Stimmt, wegen \(0x^2\), aber ich wollte nicht zu viel in meine Antwort packen, um nicht unnötig Verwirrung zu stiften ;)

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Wie lautet denn dieser Satz von Viéta?

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Stammt aus der Satzgruppe von Vieta:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta#Verallgemeinerung

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Danke. Die Frage war von rethorischer Natur. :-)