Bestimmen Sie den Flächeninhalt F_{p} der Projektion des Parallelogramms auf die Ebene, die von den Vektoren …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Flächeninhalt \( F_{p} \) der Projektion des Parallelogramms auf die Ebene, die von den Vektoren \( \overrightarrow{v_{1}}=(0,0,1) \) und \( \overrightarrow{v_{2}}=(1,1,0) \) aufgespannt wird.

\( F_{p} \) sei gegeben durch die Punkte \( \mathrm{A}=(-4,1,4), \mathrm{B}=(-2,10,1) \) ,\( \mathrm{C}=(-11,14,8) \) und \( \mathrm{D}=(-13,5,11) \)

Comments

Okay und du erwartest von uns dass wir dir jetzt den Flächeninhalt ausrechnen, damit du nichts machen musst?

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Ich weiß leider absolut nicht, was gefragt ist. Keine Ahnung, was auf eine Ebene projeziert bedeuten soll.

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Und du hast nicht mal den Versuch gewagt, das irgendwo nachzurecherchieren oder in dein Buch zu gucken? Einfach von vorn herein "keine Ahnung" sagen, weil man zu faul ist, sich damit auseinander zu setzen?

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Harte Worte vom Mathe-Klaus :p

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Mitglied seit 5 Tagen, nur mit dem Ziel, immer die gleiche Antwort zugeben, ist ja etwas seltsam..

Answer 1

Aloha :)

Das Vektorprodukt$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-1\\1-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$ist ein Normalenvektor der Ebene, steht also senkrecht auf ihr. Für die Projektion auf diese Ebene müssen wir diesen Normalenvektor normieren:$$\vec n\coloneqq\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$Nun müssen wir drei der vier Punkte auf diese Ebene projezieren:

$$\vec a'=\vec a-(\vec n\cdot\vec a)\cdot\vec n=\begin{pmatrix}-4\\1\\4\end{pmatrix}-\frac{5}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1,5\\-1,5\\4\end{pmatrix}$$$$\vec b'=\vec b-(\vec n\cdot\vec b)\cdot\vec n=\begin{pmatrix}-2\\10\\1\end{pmatrix}-\frac{12}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}$$$$\vec c'=\vec c-(\vec n\cdot\vec c)\cdot\vec n=\begin{pmatrix}-11\\14\\8\end{pmatrix}-\frac{25}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,5\\1,5\\8\end{pmatrix}$$

Die Fläche des projezierten Parallelogramms ist daher:

$$F(A'B'C'D')=\left\|(\vec a'-\vec b')\times(\vec c'-\vec b')\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-5,5\\-5,5\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2,5\\-2,5\\7\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-31\\31\\0\end{pmatrix}\right\|$$$$F(A'B'C'D')=\sqrt{(-31)^2+31^2}=\sqrt{1922}\approx43,84$$

Comments

Hallo und erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

Warum muss man genau 3 Punkte projezieren und wieso werden die so projeziert? Ist eine Projektion durch Vektor - (Normalenvektor * Vektor) * Normalenvektor definiert?

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Um die Fläche eines Parallelogramms ABCD zu bestimmen brauchst du nur zwei Vektoren, zum Beispiel \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BC}\), die das Parallelogramm aufspannen. Der letzte Punkt \(D\) wird nicht benötigt. Die Fläche ist dann gleich dem Betrag des Vektorproduktes dieser beiden Vektoren:$$F=\left\|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right\|=\left\|(\,\vec a-\vec b\,)\times(\,\vec c-\vec b\,)\right\|$$

Wenn du einen Vektor \(\vec v\) auf einen Vektor \(\vec n\) projezieren möchtest, geht das mittels folgender Rechnung:$$\vec v_\parallel=\frac{(\,\vec n\cdot\vec v\,)}{\left\|\vec n\right\|^2}\cdot\vec n\quad;\quad\text{Projektion von \(\vec v\) auf \(\vec n\)}$$Die parellelen Striche sollen andeuten, dass \(\vec v_\parallel\) parallel zum Vektor \(\vec n\) verläuft.

Hier war jedoch \(\vec n\) der Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht. Daher steht auch \(\vec v_\parallel\) auf der Ebene senkrecht. Wir brauchen den Anteil \(\vec v_\perp\), der auf dem Vektor \(\vec n\) senkrecht steht und daher parallel zu der Ebene verläuft. Diesen Anteil bekommen wir über die Beziehung:$$\vec v=\vec v_\parallel+\vec v_\perp\quad\implies\quad\vec v_\perp=\vec v-\vec v_\parallel$$Daher habe ich die Rechnung oben so gewählt.