Grenzwerte von Sinus-, Cosinusfunktionen mit x->0

Question

Aufgabe: Grenzwerte von Sinus-, Cosinusfunktionen mit x→0 berechnen

(1) \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos(πx)}{\sin^{2}(x)} \)

(2) \( \lim\limits_{x \to 0} x^{-a} \sin(x) \) für 0<a<1

(3) \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - cos(x)}{x^{2} ln(x)} \)

(4) \( \lim\limits_{x \to 0} \sin(ln(x))((1+x) ^{ \frac{1}{x} }-1) \)

Answer 1

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a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (\pi \cdot x)}{\sin ^{2}(x)} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\pi \cdot \sin (\pi \cdot x)}{2 \cdot(\sin (x) \cdot \cos (x))} \)
\( \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{2} \cdot \cos (\pi \cdot x)}{2 \cdot(\cos (x) \cdot \cos (x)+\sin (x) \cdot(-\cos (x)))}= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{2} \cdot \cos (\pi \cdot x)}{2 \cdot\left(\cos ^{2}(x)-\sin (x) \cdot(\cos (x))\right)} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{2}}{2} \)