Bestimmen Sie cos(π/3), indem Sie 3-te Einheitswurzeln betrachten und

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie cos(π/3), indem Sie 3-te Einheitswurzeln betrachten und

"Es sei n∈N sowie ζn=e^(2πi/n) eine n-te Einheitswurzel. Dann gilt 1 + ζn + ζ2n +···+ ζn−1n = 0" verwenden.

(das n steht immer unten bei dem Zeichen, die Zhalen oben)

Kann mir jemand erkären wie genau ich das machen muss.

Answer 1

Eine primitive 3-te Einheitswurzel $\zeta$ ist

$\exp(2\pi i/3)=\cos (2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)$.

Damit ist $\cos(\pi/3)=-Re(\zeta)$.

$\zeta$ ist eine Nullstelle von $X^2+X+1=(X^3-1)/(X-1)$,

also $\zeta=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$. So ergibt sich:

$\cos(\pi/3)=\frac{1}{2}$.