Bestimmen Sie cos(π/3), indem Sie 3-te Einheitswurzeln betrachten und

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie cos(π/3), indem Sie 3-te Einheitswurzeln betrachten und

"Es sei n∈N sowie ζn=e^(2πi/n) eine n-te Einheitswurzel. Dann gilt 1 + ζn + ζ2n +···+ ζn−1n = 0" verwenden.

(das n steht immer unten bei dem Zeichen, die Zhalen oben)

Kann mir jemand erkären wie genau ich das machen muss.

Answer 1

Eine primitive 3-te Einheitswurzel \(\zeta\) ist

\(\exp(2\pi i/3)=\cos (2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)\).

Damit ist \(\cos(\pi/3)=-Re(\zeta)\).

\(\zeta\) ist eine Nullstelle von \(X^2+X+1=(X^3-1)/(X-1)\),

also \(\zeta=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\). So ergibt sich:

\(\cos(\pi/3)=\frac{1}{2}\).