Aufgabe:
Die fünften Einheitswurzeln sind \( \zeta:=e^{2 \pi i / 5} \) und \( \zeta^{2}, \zeta^{3}, \zeta^{4} . \) Zusammen mit \( 1 \) sind sie die Ecken eines regulären Fünfecks. In Aufgabe 1 von Blatt 5 im HWS 2019 hatten Sie \( \cos \frac{2 \pi}{10} \) bestimmt. Ganz ähnlich bestimmt man \( \cos \frac{2 \pi}{5} \) und \( \cos \frac{4 \pi}{5}: \)
$$ \begin{aligned} 0 &=\zeta^{5}-1=(\zeta-1)\left(\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1\right) \\ \text { also } 0 &=\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1 \end{aligned} $$
also \( 0=\zeta^{2}+\zeta+1+\zeta^{-1}+\zeta^{-2} \)
$$ \begin{array}{l} =\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)^{2}+\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)-1 \\ =\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)^{2}+\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)-1 \end{array} $$
also \( 2 \cos \frac{2 \pi}{5}=\zeta+\zeta^{-1}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
und \( 2 \cos \frac{4 \pi}{5}=\zeta^{2}+\zeta^{-2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \)
Bestimmen Sie \( \sin \frac{2 \pi}{5} \) und \( \sin \frac{4 \pi}{5} \) und berechnen Sie \( |1-\zeta| \)
Problem/Ansatz:
Diese Aufgabe ist Teil meines aktuellen Übungsblattes und gibt auch nur einen Punkt. Ich verstehe schon nicht ganz die Herleitung des Cosinus. Allerdings muss bei nur einem Punkt die Aufgabe recht leicht zu lösen sein.
Kann mir jemand sagen, wie ich mit den Angaben hier auf den jeweiligen Sinus komme? Kann ich hier jetzt ganz einfach ausgehend vom Cosinus +pi/2 rechnen und hab dann schon den Sinus?
