komplexe Gleichung lösen Im((z-1)/(z+i))=0

Question

Löse folgende komplexe Gleichung:

Im((z-1)/(z+i)) =0

Ich setz für z gleich x+iy ein, und versuche dann durch Erweitern den Nenner wegzubekommen und auszumultiplizieren, allerdings bekomm ich den Nenner nie weg.

Answer 1

Im((z-1)/(z+i)) =0        z=a+ib

Im ((a-1 +ib) / (a + i(1+b)) ) = 0          |3. Binom 

Im ((a-1 +ib)(a-i(1+b)) / ((a + i(1+b)) * (a-i(1+b) ) = 0   |Jetzt ist den Nenner reell. Allenfalls zum Schluss noch sicherstellen, dass Nenner ≠ 0

Ich rechne mit dem roten Teil weiter.

Im ((a-1 +ib)(a-i(1+b)) = Im ( (a-1-ib)(a-i-ib)) = Im (a^2 -ia + b^2 -a + i + ib - iba -b - b^2)

 -a + 1 + b - ab=0

b-ab = a-1

b(1-a) = (a-1)

b= (a-1) / (1-a) = -1

einsetzen in  -a + 1 + b - ab=0

-a + 1 - 1 + a = 0

0=0

Würde jetzt heissen b=-1 und a beliebig.

Also z = a - i.

Unbedingt nachrechnen und Vorzeichen kontrollieren.

Antwort auf deine Frage: Nenner macht man reell, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multipliziert.

Betrachte auch hier Rubrik 'alternate form assuming x and y are real' https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%2Biy-1%29%2F%28x%2Biy%2Bi%29%29

Comments

Hallo Lu!
Ich habe ein paar Fragen zu deiner Lösung.
Wieso darf man ab Zeile 3 nur noch den Zähler betrachten?
Und warum wechselt (ab dem blauen Teil):

(a-1 +ib) zu (a-1-ib)

  :)

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Hallo Anonym. Wie gesagt: Nachrechnen musst man selbst. (Auch die folgende Korrektur)

Ich versuch mal die Vorzeichensache anzupassen. (2. Fehler: -iab ging vergessen!

Im ((a-1 +ib)(a-i(1+b)) = Im ( (a-1+ib)(a-i-ib)) = Im (a² -ia -iab + b² -a + i + ib + iba +b + b²)

 -a + 1 + b =0

b= 1-a

z= a + i(1-a) wäre meine korrigierte allg. Lsg.

 , wobei z+i≠0 oder z≠-i 

Gemäss zuverlässiger Quelle https://www.wolframalpha.com/input/?i=im%28%28x%2Biy-1%29%2F%28x%2Biy%2Bi%29%29+%3D0

sollte auch -a+b+1=0 also b=a-1 rauskommen. 

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Hallo Lu!
Vielen Dank für die rasche Antwort!
Dank dir habe ich die Aufgabe jetzt verstanden!