Aloha :)
Wir sollen eine Funktion \(K(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(F(x;y)\) optimieren. Die Lösungen sollen im ersten Quadranten liegen:$$K(x;y)=69x+82y\quad;\quad F(x;y)=7x^2+64xy+7y^2-7179\stackrel!=0\quad;\quad x,y>0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion \(g\) eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier gibt es nur eine Nebenbedingung \(F\), sodass:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)$$Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der Lagrange-Multiplikatior.
Wir rechnen die Gradienten aus$$\binom{69}{82}=\lambda\cdot\binom{14x+64y}{64x+14y}$$Da die Gradienten parallel oder antiparallel zueinander liegen müssen, spannen sie keine Ebene auf. Das heißt, die Determinante aus beiden Gradienten muss verschwinden:
$$0=\begin{vmatrix}69 & 14x+64y\\82 & 64x+14y\end{vmatrix}=69(64x+14y)-82(14x+64y)=3268x-4282y\implies$$$$4282y=3268x\implies y=\frac{3268}{4282}x\implies y=\frac{1634}{2141}x$$Dies setzen wir in die Nebenbedingung \(F\) ein:
$$0\stackrel!=F\left(x\;;\;\frac{1634}{2141}x\right)=59,921729x^2-7179\implies x=10,945606$$$$y=\frac{1634}{2141}\cdot x=\frac{1634}{2141}\cdot 10,945606=8,353629$$Die Kosten im Extremum betragen:$$K(10,945606\,;\,8,353629)=1440,24$$
