Konvergenz Reihe Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Ich muss bei folgender Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Divergenz oder Konvergenz schließen:

$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{3}{π^k}$$

Kann das jemand gescheit lösen?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Hallo, du sollst doch nur den Ausdruck (nach Definition vom Quotientenkriterium) \(\left | \frac{a_{k+1}}{a_k}\right |\) mit \(a_k:=\frac{3}{\pi^k}\) betrachten und davon den Grenzwert bestimmen.

Comments

Ich komme dann auf 1/pi und habe dann kein k mehr, welches ich gegen unendlich laufen lassen kann.

$$|\frac{3}{π^{k+1}}*\frac{π^k}{3}|=\frac{1}{π}\rightarrow \lim\limits_{k\to\infty}\text{ ? }$$

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Sieht doch alles richtig aus. Und was bereitet dir das jetzt Probleme?

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Hm mich hatte es verwirrt, dass es kein k mehr gab welches ich konvergieren konnte, aber jetzt ist mir aufgefallen, dass konstante Folgen ja auch konvergieren und zwar trivial gegen sich selbst. Demnach wäre mein 1/pi kleiner 1 und nach dem Quotientenkriterium würde die Reihe absolut konvergieren - wenn das so stimmt, habe ich jetzt doch alles verstanden.

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Korrekt. :-)

Answer 2

Die Summe ist eine geometrische Reihe mit q<1.

Summenwert: 3* (1/pi)/(1-1/pi) = 3/(pi-1)