0 Daumen
196 Aufrufe

Guten Nachmittag, Leute!


Ich bearbeite seit einer Weile folgende Aufgabe, ohne durch Umformungen auf die Lösung zu kommen.

Die Aufgabe lautet:


pro.PNG



Bei der a) habe ich erst mal für die Folge $${ (a }_{ n })\quad =\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } } $$


das Quotientenkriterium verwendet.


Dann erhalte ich:


$$lim\quad ->\quad \infty \quad \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\quad \quad \quad \frac { \frac { 1 }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad  } }  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }  } \quad =\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad  } } \quad *\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ 1 } \quad \\ \\ =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad  } } \quad =\quad \quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad \quad \quad  }*\quad { 3 }^{ { (-1) }^{ (n+1) } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad \quad \quad  }*\quad { 3 }^{ (-n\quad -\quad 1) } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ { 3 }^{ (n+1\quad -n\quad -1)\quad \quad \quad  } } \\ \\ =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad  } }{ { 3 } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n } }{ 3 } \quad +\quad \frac { { 3 }^{ { (-1) }^{ n } } }{ 3 } \quad =\quad { 3 }^{ n-1 }\quad +\quad { 3 }^{ { (-1 }^{ n })\quad -\quad 1 }\quad $$


Ab hier komme ich irgendwie nicht mehr weiter... Weiß nicht, wie ich das noch umformen kann, dass man daraus eine Aussage ableiten kann... kann man mittels Quotientenkriterium wirklich eine Aussage über das Konvergenzverhalten dieser reihe machen ?


Und wie kann man bei der b) den Grenzwert bestimmen? Durch einfaches ausmultiplizieren geht es schlecht. Durch Majoranten und Minorantenkriterium habe ich es auch nicht geschafft, weil ich keine passende Majorante bzw. Minorante kenne...


Kann mir da jemand helfen?

Ich bedanke mich schon im Voraus!


Mfg

Domenik

von

2 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Du hast einen Fehler in deinen Umformungen. Korrekt ist:

\(\frac{3^{n+(-1)^n}}{3^{(n+1)+(-1)^{n+1}}} = \frac{3^n\cdot 3^{(-1)^n}}{3^n\cdot 3^1\cdot 3^{(-1)^{n+1}}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3^{(-1)^n}}{3^{(-1)^{n+1}}}\)

Eine Fallunterscheidung zwischen geradem und ungeradem n liefert jetzt \(\frac{1}{3}\cdot 9\) und \(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{9}\).   Somit versagt das Quotientenkriterium.

von 39 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Danke für eure Antworten!

Ich wusste es intuitiv, dass ich irgendwo einen Fehler hatte.


Genau, durch die Fallunterscheidung haben wir dann zwei Werte:


1/3 * 9 und 1/3 * 1/9

Tut mir leid, wenn ich diese vielleicht triviale Frage stelle, aber warum versagt an dieser Stelle das Quotientenkriterium ?

Etwa weil


1/3 * 9 > 1 und somit divergent

und 1/3 * 1/9 < 1 und somit absolut konvergent?

Aber wo genau liegt der Widerspruch?

MfG

Dome

aber warum versagt an dieser Stelle das Quotientenkriterium ?

Es gibt mehrere gleichwertige Formulierungen des Quotientenkriteriums.  Erst wenn du mir die Formulierung nennst, die du kennst, dann kann ich dir sagen, warum es versagt.

Okay, verstehe. Mir ist momentan nur die aus unserem Skript bekannt:


qk.PNG


und genau bei dieser Definition verstehe ich das Versagen des Quotientenkriteriums nicht...

Freue mich auf deine Rückmeldung!

Mfg

Dome

Ich weiß nicht, was der horizontale Strich über dem "lim" bedeuten soll. Aber die Folge |an+1/an| hat überhaupt keinen Grenzwert. Noch nicht ein mal im uneigentlichen Sinn. Stattdessen hat diese Folge zwei Häufungspunkte, nämlich 1/3·9 = 3 und 1/3 · 1/9 = 1/27.

Freue mich auf deine Rückmeldung!

Das ist meiner Meinung nach ein Widerspruch zu der Tatsache, dass du die Antwort von lul als "Beste Antwort" gekennzeichnet hast.

Der "lim" mit dem horizontalen Strich ist der "Limes Superior".

Wenn die Folge die

 Häufungspunkte  3 und 1/27 hat, dann ist der Limes superior ja 3, weil er der größte Häufungspunkt ist.

Da 3>1 ist, divergiert die Reihe nach der Definition im Skript.  Deswegen sehe ich nicht den Widerspruch :/


MfG

Dome

Ich wollte beide Antworten als beste Antworten markieren, weil ihr euch wenigstens die Mühe gemacht habt, mir zu antworten. Ich habe deine Antwort genauso als beste Antwort markiert.

Da 3>1 ist, divergiert die Reihe nach der Definition im Skript.

Da ist ein Fehler im Skript. Der Limes inferior von |an+1/an| muss größer als 1 sein um mit dem Quoteientenkriterium zu zeigen dass die Reihe divergiert.

Im vorliegenden Fall ist der Limes inferior kleiner als 1 und der Limes superior größer als 1. Es ist also der dritte Punkt in Satz 2.16 eingetreten.

Aha! Du hast recht. So stehts auch auf Wikipedia. Okay, dann sehe ich das nun auch, dass das Quotientenkriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe liefert.

Jetzt ergibt das Sinn. Danke.


Kannst du mir vielleicht noch bei der b) helfen?

Ich habe versucht, den Grenzwert der Reihe mit dem Majorantenkriterium zu bestimmen, aber mir ist dazu keine passende Majorante eingefallen, weil ich nicht weiß, wie ich das (-1)^n weg bekomme.

Wie kann man dazu die passende konvergente Majorante finden?


Lg

Dome

Hallo

 1/3n-1>1/3n+1, also wenn du statt (-1)n einfach -1 schreibst sind alle Summanden größer oder gleich

entsprechend für Minorante,

 du kannst die Summe aufteilen über gerade und ungerade n

Gruß lul

hey! Danke für dein Tipp. Aber wie kommst du auf 1/3^{n-1}?



Lg

Dome

+2 Daumen

Hallo

das Q-Kriteriom hilft nicht, wenn die Summanden nicht monoton abnehmen, denn du hast ja für n gerade und ungerade verschiedene a_n

2. aber Wurzelkriterium oder konvergente Majorante hilft.

gruß lul

von 18 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...