Zeigen Sie, dass C Produkt von höchstens 4 Elementarmatrizen ist.

Question

Aufgabe:

Es sei C Element aus M2(K) ein invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass C Produkt von höchstens
4 Elementarmatrizen ist.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabenstellung. Ich wäre glücklich über jede Hilfe :)

Comments

Um C durch elementare Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix zu bringen, braucht man maximal 4 Umformungsschritte.

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Ja und wie beweise ich das ?

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Nimm dir einfach eine Matrix \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

Falls a = 0:

1. Umformung: Zeilen tauschen

2. Umformung: erste Zeile mit 1/c multiplizieren (Es kann nicht a=0 und c=0 sein.)

3. Umformung: zweite Zeile mit 1/b multiplizieren (Es kann nicht a=0 und b=0 sein.)

4. Umformung: zweite Zeile d/c mal von der ersten Zeile subtrahieren:

Falls a ≠ 0:

1. Umformung: erste Zeile mit 1/a multiplizieren

2. Umfomrung: erste Zeile c mal von zweiter Zeile subtrahieren

3. Umformung: zweite Zeile mit 1/(d - c*b/a) (das ist ungleich 0) multiplizieren

4. Umformung: zweite Zeile b/a mal von erster Zeile subtrahieren.