0 Daumen
1,5k Aufrufe

Aufgabe:

Schreiben Sie die Matrix

A =\( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 2 & 7 & 6 \\ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} \)  ∈ Mat(3 × 3, ℝ)

als Produkt von Elementarmatrizen.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Gehe rückwärts vor und wende wie beim Gauss-Algorithmus

die elementaren Operationen an um auf die Einheitsmatrix

zu kommen. Als erstes wäre das vielleicht

3. Zeile minus 1. Zeile. Das geschieht mit der Elementarmatrix E1=

 1 0 0
 0 1 0
-1 0 1

und dann gibt E1*A jedenfalls

2 6 6
2 7 6
0 1 1

und dann vielleicht 2. Zeile minus erste

also mit der Elementarmatrix E2

1   0 0
-1 1 0
0  0 1

hast du dann E2*E1*A =

2 6 6
0 1 0
0 1 1

Dann wohl 3. Zeile minus zweite also E3=

1  0 0
0  1 0
0 -1 1

und E3*E2*E1*A=

2 6 6
0 1 0
0 0 1

und dann 1. Zeile minus 6*zweite, also E4

1  -6 0
0  1 0
0  0 1

und E4*E3*E2*E1*A=

2 0 6
0 1 0
0 0 1

und dann 1. Zeile minus 6*dritte, also E5
1  0  -6 
0  1 0
0  0 1

und E5*E4*E3*E2*E1*A=
2 0 0 
0 1 0
0 0 1

und nun noch die erste Zeile mal 0,5 mit E6=

0,5  0   0
0    1    0
0    0    1

und dann ist E6*E5*E4*E3*E2*E1*A=E

mit der Einheitsmatrix E.

Damit du das A als Produkt von Elementarmatrizen

bekommst, musst du alles rückgängig machen, also

aus E6*E5*E4*E3*E2*E1*A=E wird

          E5*E4*E3*E2*E1*A=E6^(-1) und dann

               E4*E3*E2*E1*A=E5^(-1)*E6^(-1)

etc bis A = E1^(-1) * E2^(-1) * ...  E5^(-1)*E6^(-1)

und die Inversen der Elementarmatrizen sind einfach anzugeben

bei E1 ersetze die -1 durch +1 und bei E2 und E3 ebenso.

Bei E4 und E5 die -6 durch 6 ersetzen und bei E6 die 0,5

durch eine 2 ersetzen.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community