Wie berechnet man diese Aufgabe bzgl. der Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion?

Question

Aufgabe:

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Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe. Leider habe ich bei dieser Aufgabenkonstellation gar keine Vorstellung davon was genau gewollt ist bzw. wie man hier vorgehen muss. Mir ist bewusst wie man zB in (1) ln(-2+10j)=2.32+1,77j rechnet (nämlich mit folgender Formel ln(z)= ln|z| +j*arg(z)). Allerdings verstehe ich nicht was bei Kuh.ln(-2+10j) anders sein soll? Geht es da darum, dass man eine andere Mengenangabe für den Imaginäranteil hat? Wenn ja, wie muss man dann rechnen?

Für Antworten oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar, da mich diese Aufgabe sehr verzweifeln lässt.

Comments

Könnt ihr mir eventuell einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe angehen muss?

Answer 1

Hallo nimar105, ich habe eine Vermutung:

Wir haben hier Definitionen für Exponential- und deren Umkehrfunktionen. Der einzige Unterschied sind die Intervalle für Im(z) in B und D. In B ist alles "normal" in D ist das Intervall aufgetrennt.

Gemäß der Definition durchlaufen wir folgende Rechenschritte:

ln(w) = ln(e^z) = ln(e^{ln|w|+j*arg(w)}) = ln|w| + j*arg(w) = z

Bei der Kuhhirtin soll gelten Im(z) ∈ (-π,π], also:

a) ln(w) = ln(-2 + 10*j), ln|w| ≈ 2.32, arg(w) = (weil Im(w)>0) arccos(Re(w)/|w|) ≈ 1.77 ≈ 0.56π = Im(z) (passt zum gegebenen Intervall und wird deswegen auch so angezeigt)

b) ln(w) = ln(5 - 8*j), ln|w| ≈ 2.24, arg(w) = (weil Im(w)<0) -arccos(Re(w)/|w|) ≈ -1,01 ≈ -0.32π = Im(z) (passt zum gegebenen Intervall und wird deswegen auch so angezeigt)

Beim Kuhhirten soll gelten Im(z) ∈ (-0.5π,0.5π) ∨ (2.5π,3π] ∨ (-2.5π, -3π), also:

a) ln(w) = ln(-2 + 10*j), ln|w| ≈ 2.32, wir berechnen arg(w) auf die obige Weise (≈ 0.56π) und dann können wir beliebig Vielfache von 2π addieren, weil e^j*φ = e^j*(φ+2*π) gilt. Ich würde also hier 0.56π + 2π rechnen, um mit Im(z) im Intervall (2.5π,3π] zu liegen. Damit wäre dann ln(w) = ln(-2 + 10*j) ≈ 2.32 +j*2.56π

b) ln(w) = ln(5 - 8*j), ln|w| ≈ 2.24, arg(w) = (weil Im(w)<0) -arccos(Re(w)/|w|) ≈ -1,01 ≈ -0.32π = Im(z) (passt zum gegebenen Intervall und wird deswegen auch so angezeigt)

Ohne gewähr :) Bitte gib mal eine Rückmeldung, wenn die Aufgabe besprochen wurde.