Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung z^5 = z Überstrich.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung z^5 = z Überstrich.

Problem/Ansatz:

Habe mir schon die Videos von Daniel Jung angeschaut, dennoch sitze ich hier weiterhin an der Aufgabe fest....

Comments

Schöne Aufgabe mit 7 Lösungen.

:-)

Answer 1

\(z=r\cdot e^{i\phi}   ;    \bar{z}=r\cdot e^{-i\phi} \)

\(z^5=r^5\cdot e^{i\cdot5\phi}  ;    \bar{z}=r\cdot e^{-i\phi} \)

\(r^5\cdot e^{i\cdot5\phi}=r\cdot e^{-i\phi} \)

\(r^5=r ;   5\phi=n\cdot2\pi-\phi ; n\in\mathbb N\)

\(r=0\Rightarrow z_0=0\)

oder

\(r=1 ; 6\phi=n\cdot2\pi; n\in\mathbb N \)

\(z_k=e^{i\cdot k\phi/3}; k=1; ... ; 6\)

Comments

Vielen Dank,

wie bist du darauf gekommen?

Damit ich das auch nachvollziehen kann.

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Hallo 123,

Wenn komplexe Zahlen multipliziert oder potenziell werden, empfiehlt sich meistens die Polarform.

:-)

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Konjugieren komplex bedeutet ja, an der reellen Achse spiegeln. Deshalb das Minuszeichen vor dem Winkel.

:-)

Answer 2

z^5 = z

<=>

0 = z^5 - z

<=>

0 = z * (z^4-1)

<=>

0 = z * (z^2-1) * (z^2+1)

(Spätestens ab hier lassen sich die Lösungen ablesen. )

<=>

0 = z * (z-1) * (z+1) * (z-i) * (z+i)

Comments

Aha, ich sehe gerade, dass da noch ein Überstrich über das rechte z gehört. Dann geht das so nicht.

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Das ist auch mein Problem... dieser Überstrich.