Bestimmen sie diejenigen Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.

Question

Ich schreibe morgen eine Mathe Klausur und hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe.

Aufgabe: Gegeben sind die Ebene E: 2x1-x2+5x3 = 7 und die Gerade g:x = (2/3/-5) + r* (1/1/0). Bestimmen sie diejenigen Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.

Wie soll die Aufgabe gerechnet werden?

Answer 1

Schneide g mit den beiden Ebenen, die zu E parallel sind und

von E den Abstand 3 haben.

Answer 2

Aloha :)

Wir können aus der Ebenengleichung$$E:\;2x_1-x_2+5x_3=7$$direkt einen Normalenvektor \(\vec n\) ablesen, der auf der Ebene senkrecht steht, sowie die Koordinaten eines beliebigen Punktes \(P\) auf der Ebene:$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\quad;\quad P(0|-7|0)$$Wenn wir den Verbindungsvektor vom Punkt \(P\) zu einem Punkt \(X\) der Geraden ziehen

$$\overrightarrow{PX}=\vec x-\vec p=\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-7\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\10\\-5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$und diesen Verbindungsvektor auf den Normalenvektor \(\vec n\) projezieren:

$$d=\frac{1}{\|\vec n\|}\vec n\cdot\overrightarrow{PX}=\frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\10\\-5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\frac{1}{\sqrt{30}}\left(-31+r\right)$$soll der Betrag dieser Projektion gleich dem Abstand \(3\) sein:

$$3\stackrel!=|d|=\frac{1}{\sqrt{30}}\left|r-31\right|\implies 3\sqrt{30}=|r-31|\implies r=31\pm3\sqrt{30}$$Es gibt also zwei Punkte auf der Geraden, die den Abstand \(3\) zur Ebene haben:

$$\vec x_{1,2}=\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}+(31\pm3\sqrt{30})\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}33\\34\\-5\end{pmatrix}\pm\sqrt{30}\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}$$Das sind die beiden Punkte:

$$X_1(33+3\sqrt{30}\big|34+3\sqrt{30}\big|-5)\quad\text{und}\quad X_2(33-3\sqrt{30}\big|34-3\sqrt{30}\big|-5)$$