Ableitung des Kreuzproduktes

Question

Hi Community,

Aufgabe:

zu zeigen ist, dass $$ d_t(\vec{A}\times \vec{B})=(d_t\vec{A})\times \vec{B} +\vec{A}\times (d_t\vec{B}) $$

Problem/Ansatz:

Es gilt ja $$ \vec{A}\times \vec{B} = \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k $$ und daraus folgt: $$ d_t(\vec{A}\times \vec{B}) = \sum_a d_t(\epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k)\vec{e}_a $$ Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich weiter vorgehen soll bzw. mit welchen Rechenoperationen ich diesen Audruck auseinander ziehen kann.

:)

Answer 1

$$ \vec{A}\times \vec{B} = \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k $$

ja das gilt. Und wenn du das jetzt nach der Zeit ableitest:

$$ \partial_t ( \vec{A}\times \vec{B} ) = \partial_t \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k $$

Die Ableitung vertauscht mit Summen und Skalaren, der k-te Einheitsvektor hängt nicht von der Zeit ab, kann man also auch vor die Ableitung ziehen:

$$ \partial_t \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k = \epsilon_{ijk} \vec{e}_k \partial_t(A^i B^j) $$

Produktregel anwenden:

$$ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k \partial_t(A^i B^j) = \epsilon_{ijk} \vec{e}_k ((\partial_tA^i )B^j + A^i(\partial_t B^j)) $$

Distributivgesetze:

$$ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k ((\partial_tA^i )B^j + A^i(\partial_t B^j)) = \left[ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k (\partial_tA^i )B^j \right] + \left[ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k A^i(\partial_t B^j) \right] \\= \left[(\partial_t \vec A) \times \vec B\right] + \left[ \vec A \times (\partial_t \vec B) \right]$$

Comments

Vielen Dank! Leider wird mir leider das Symbol für die beste Antwort nicht angezeigt, aus welchen Gründen auch immer und ich kann deshalb deinen Beitrag leider nicht damit versehen. Aber du hast mir sehr geholfen damit.