Zeigen Sie mithilfe des Monotoniesatzes, dass die Funktion f im angebenen Intervall streng monoton wachsend ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe des Monotoniesatzes, dass die Funktion f im angebenen Intervall streng monoton wachsend ist.

a) f(x) = \( \frac{1}{2} \) x² + 1 (0; ∞)

b) f(x) = -x² + 4 (-∞; 0)

c) f(x) = 2x (-∞; ∞)

d) f(x) = x³ - 3x (1; ∞)

Problem/Ansatz:

a) f(x) = \( \frac{1}{2} \) x² + 1

=> f´(x) = x

Da f´(x) > 0 ist, ist f nach dem ersten Monotoniesatz streng monoton wachsend in I. Im Intervall I steigen die x-Werte nur. sodass die Funktionswerte für f´(x) immer größer null ergeben.

b) f(x) = -x² + 4

=> f´(x) = -2x

Im Intervall I sinken die x-Werte im negativen Bereich ab 0 nur, sodass die Funktionswerte für f´ größer null ergeben. Daher ist f´(x) > 0 und nach dem ersten Monotoniesatze ist f in I streng monoton wachsend.

c) f(x) = 2x

=> f´(x) = 2

Die Funktion f´ ist auf ganz ℝ größer null. Folglich passiert f´(x) > 0, sodass die Funktion f(x) in I streng monoton wachsend ist.

d) f(x) = x³ - 3x

=> f´(x) = 3x² - 3

Im Intervall I ist f´ im Intervall I größer null, sodass nach dem ersten Monotoniesatz die Funktion f´ streng monoton wachsend.

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Stimmen die Lösungen?

Answer 1

a) Da im ganzen Intervall x>0 gilt , gilt auch  f´(x) > 0 . Also ist f nach dem ersten Monotoniesatz streng monoton wachsend in I.

Fertig !   Den Nachsatz lass besser weg .

b) entsprechend:  Da x<0 im Intervall gilt , ist dort f ' (x) > 0  und nach dem ersten Monotoniesatze ist f in I streng monoton wachsend.

c)  ✓

d) vielleicht noch so: 3x^2 - 3 > 0   <=>  3*( x^2 - 1 ) > 0 <=> x^2 -1 > 0   <=>   x^2 > 1

Im gegebenen Intervall gilt also  f ' (x) > 0 also ...

Comments

nach dem ersten Monotoniesatz streng wachsend in I.