Gegeben Sei der R-Vektorraum, wie zeige ich folgende Aufgabe?

Question

Hallo,

Sie besteht aus a, b, und c , ich hoffe jemand kann wenigstens einen Teil der Aufgabe lösen. Ich stehe nämlich gerade auf dem Schlauch... Falls möglich bitte mit kurzer Erklärung damit ich es besser nachvollziehen kann. Danke :)

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) . \) Zeigen Sie:

a) Die Menge \( U:=\{p \in V: p(1)=0\} \) ist ein Untervektorraum von \( V \).

b) Die Liste \( x-1, x^{2}-x, x^{3}-1 \) ist eine Basis von \( U \).

c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von \( V \).

Answer 1

U ist die Menge aller Polynome der Art

p(x) = ax^3 + bx^2 +  cx + d  mit a+b+c+d=0

also p(x) = ax^3 + bx^2 +  cx -a-b-c .

Diese lassen sich alle als Linearkombination der

gegebenen Liste darstellen und die

drei aus der Liste sind lin. unabh.

Also ist das eine Basis für U.

Eine Basis für V erhältst du, wenn du ein

Polynom aus V, das nicht in U liegt dazu nimmst,

z.B. p(x) =  x

Comments

super vielen dank! b) und c) habe ich soweit verstanden. können sie zu teil a) noch etwas ausführlicher sein? Das wäre super