Sei V ein Vektorraum und sei S eine Teilmenge von V\{0} mit n≥3 Elementen.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und sei Seine Teilmenge von V\{0} mit n≥3 Elementen.

(A) Wenn die Dimension des von S aufgespannten Unterraumes n−1 betragt, dann laßt sich mindestens einer der Vektoren aus S als Linearkombination der ubrigen darstellen.

(B) Wenn die Dimension des von S aufgespannten Unterraumes n−1betragt, dann laßt sich jeder der Vektoren aus S als Linearkombination der ubrigen darstellen.

(C) Wenn alle 3-elementigen Teilmengen von S linear unabhangig sind,dann ist S linear unabhangig.

Problem/Ansatz:

Nur A ist wahr, warum?

Answer 1

(A) dim(V)=n-1 ==> Es gibt eine Basis mit n-1 Elementen.

Angenommen kein Element von S ließe sich durch

die anderen darstellen, dann wären sie lin. unabh.

Aber lin. unabh. Syteme in einem VR haben nie mehr

Elemente als eine Basis.

(B) Wenn sich nicht jeder durch die anderen darstellen lässt,

können sie dennoch lin. abh. sein wie das Beispiel zeigt:

\( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)

(C) Betrachte :

\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Je 3 sind linear unabh., aber alle 4 nicht.