Zeigen Sie für |z| <1: (1-z) ∑ n z^n = z / (1-z)

Question

Hallo habe hier eine Aufgabe:

Zeigen Sie für |z| < 1 :

(1-z) ∑ n zⁿ = z / (1-z)  .

wie zeige ich das?

Answer 1

Es ist $$\sum_{n=1}^\infty z^n =\frac{z}{1-z}$$ für diese z. Leitet man auf beiden Seiten ab, so e gibt sich $$\sum_{n=1}^\infty nz^n =\frac{z}{(1-z)^2}$$ und damit dasd Gewünschte.