Aloha :)
$$f(x)=\tan(x)^{\tan(2x)}=\exp\left(\tan(2x)\cdot\ln(\tan(x))\right)=\exp\left(\frac{\ln(\tan(x))}{\cot(2x)}\right)$$
Sowohl Zähler als auch Nenner im Argument der Exponentialfunktion konvergieren für \(x\to\frac{\pi}{2}\) gegen \((-\infty)\) Wir können daher zur Grenzwertbestimmung L'Hospital verwenden:
$$\left(\,\ln(\tan(x))\,\right)'=\frac{1}{\tan(x)}\cdot\frac{1}{\cos^2x}=\frac{1}{\sin x\cdot\cos x}$$$$\left(\,\cot(2x)\,\right)'=\left(\,\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\,\right)'=\frac{-2\sin(2x)\sin(2x)-2\cos(2x)\cos(2x)}{\sin^2(2x)}$$$$\phantom{\left(\,\cot(2x)\,\right)'}=\frac{-2(\sin^2(2x)+\cos^2(2x))}{\sin^2(2x)}=\frac{-2}{\sin^2(2x)}$$
Damit haben wir:
$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}f(x)=\exp\left(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\sin x\cdot\cos x}}{\frac{-2}{\sin^2(2x)}}\right)=\exp\left(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(2x)}{-2\sin x\cdot\cos x}\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}f(x)}=\exp\left(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(2x)}{-\sin(2x)}\right)=\exp\left(-\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\right)=\exp(0)=1$$
